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CHAPITRE 1. 

 Les fonctions de Bernoulli et d'Euler. 



§ 1. Remarques sur les suites harmoniques. 



Nous désignons comme suite harmonique une suile illimitée de poly- 

 nômes entiers 



(1) foix), fli^), f2(x), ••••> fn(x), ■■■■ 



qui satisfont aux deux conditions suivantes: 



1" /hÛ^') est toujours du degré n par rapport à x. 

 2" Su p|i osons ;j2il,nousauronsconstamment 



(2) fn'ix) = fn^iix). 



Désignons par 



(3) ao, Ol, a,, , a„, 



une suite illimitée quelconque, telle que \ag\ > 0, puis posons pour /i >^0 



il est évident que les polynômes /"„(.-c) ainsi définis forment une suite harmonique. 



Inversement, on voit sur-le-champ que les éléments d'une suite harmonique 

 quelconque se présentent sous la forme (4), où Oj dépend seulement de son indice 

 s, de sorte que les as forment une suite ordinaire. 



Supposons que les éléments de la suite harmonique (1) se déterminent à l'aide 

 des expressions (4), nous disons que la suite (3) est la base de la suite harmo- 

 nique (1), propriété que nous désignons par le symbole 



(5) [faix), a„]; 

 de plus, nous désignons par l'autre symbole 



(6) [an] 



la base de la suite harmonique (5), savoir la suite ordinaire (3). 



On sait que M. Appell') a étudié, le premier à un point de vue systématique, 

 les suites harmoniques. Dans mon Mémoire susdit j'ai donné d'autres propriétés 

 des suites harmoniques. 



Nous nous bornerons à indiquer ici les deux théorèmes suivants, qui sont 

 évidents du reste; 



I. Pour un élément quelconque de la suite harmonique (1) nous 

 aurons la série de Taylor ^^^ 



(7) fn{X + h) =^'^\-fn six). 



s = Il 



') Annales de l'École Normale (2) t. !>, p. 119—144; 1880. 



