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II. Les deux suites harmoniques [/"„ (x), a,,] e t [gr„ (x), ft„] sont iden- 

 tiques, pourvu que nous ayons pour tous les n 

 (8) /-„(O) = 3„(0). 



En effet, la formule (8) donnera a„ = i»„. 



§ 2. Les fonctions de Bernoulli. 

 Nous définissons la suite des polynômes de Bernoulli 



(1) ^oW. <fA^^)- ^2(^)) •••» f/ila-'), ... 



comme la suite harmonique, dont les éléments satisfont, pour n ^1, à l'équation 

 aux différences finies 



(2) <pn{x) — ^n(X—l) = („_i|i - 



Démontrons tout d'abord que les équations (2) déterminent parfaitement la 

 base [«„] de la suite harmonique (1). 



A cet effet, il est évident qu'un polynôme entier quelconque qui satisfera à 

 l'équation (2) est précisément du degré n par rapport à x. Ordonnons ensuite, à 

 l'aide de la formule binomiale, selon des puissances ascendantes de x le polynôme 

 f„{x — 1), puis cherchons, au premier membre de (2), le coefficient de la puissance 

 j-n— p — 1^ nous aurons: 



s = 



c'est-à-dire que la base [«„] susdite est déterminée. 

 Nous aurons par exemple 



(4) «0 = 1 , «1 =y, a, = Y2' «3 = 0. 



Cela posé, nous aurons immédiatement le théorème suivant: 

 I, Désignons par K une constante arbitraire, le polynôme le plus 

 général qui satisfait à léquation aux différences finies 



s = 11—1 



(5) fix) - f{x-l) = y'a», .s- a-"-»- 1 , n^l 



s = 



se présente SOUS la forme 



s = n— 1 "" 



(6) fix) = K+^a„,sin-s-l)\ f,„ix). 



s = 



Ce théorème établi, il est très facile de démontrer cet autre, essentiel dans 

 nos recherches suivantes : 



II. Soit [fnix), On] une suite harmonique quelconque, il existe une 

 autre suite harmonique parfaitement déterminée [F„(.i'), A,,], telle que 

 nous aurons pour n^^l constamment 



(7) Fnix) - F„(a— 1) = /„_,(a-) ; 



' ^(-l)»«p-, _ Q 



