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car nous aurons pour tous les n: 



s = 11 



(8) F„(x) =\^as<pn-s{x). 



s = u 



En effet, la formule (6) donnera pour n > 0: 



^n+lU') = ^^^ (Is^n-s+lix) , 

 s =0 



de sorte que nous obtenons, en difFérentianl par rapport à x, précisément la for- 

 mule (8). 



Cela posé, il est très facile de discuter la base [«„] des fonctions de Bernoulli, 

 définie par les équations (3). 



A cel effet, nous étudions la suite harmonique dont les éléments sont les 

 polynômes 



(9) fn (x) = {X + 1) <pn-i ix) - (n - 1) 5r„ (x) , f, (x) = 1 ; 

 nous trouvons, après un simple calcul direct: 



s = » — 1 

 fn{x)-f„{x—\) = <fn-Åx) =^ (n-S~ \Y\ ' 



= u 



de sorte que le théorème II donnera, en vertu de (4): 



s = Il 



(10) {x + \)<pn-\{x) = nfn(.x)['\ as<pn-s{x). 



s =1 



Cherchons ensuite, dans les deux membres de (10), le coefficient de la puis- 

 sance x'^^P, nous aurons pour p^l: 



nap , \^ UsUp-s _ ap , «p-i 



("-/>)! '^ {n-py. {n-p-\)\ ' {n-p)\ ' 



s=l 



d'où, en vertu des valeurs particulières (4): 



s = ))-2 



(11) (P+l)«p = — ^fisap-s, P>4. 



s=2 



Cela posé, la valeur particulière «., ^- donnera, par la conclusion ordinaire 

 de m à m-\-\, l'expression générale: 



(12) «2p^, = 0, p> 1; 

 posons ensuite 



(1.3) %=*";2p)!'''' ^-^' 



