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nous aurons, en vertu de (11), la formule recursive: 



(14) 



{2p + l)Bp=^(^P^BsBps, p>2, 



ce qui montrera que les nombres rationnels Bn sont constamment positifs. 

 Introduisons dans (3) les expressions (4), (12) et (13), nous aurons: 



p 



^2 



(15) 



P- 



- = X<- 



-»-'^^i' 



s = 1 



Bs, p>2; 



c'est-à-dire que notre définition des nombres de Bernoulli coïncide avec la défini- 

 tion classique de ces nombres. 



La base [«„] des fonctions de Bernoulli étant déterminée, nous aurons les 

 expressions suivantes : 



1 



(16) 



^o(.T) =1, y>i(x) = æ 



< 



f/iW 



X" . 1 



X 



n-1 



n! 



2 



-li—iy-^Bsx"-^ 



2 (/i — 1)! ' ^ (2s)! (n — 2s)! ' 



s = l 



et l'équation aux différences finies (2) donnera par conséquent : 



^o(æ— I) = l, ^i(x — l) = x— y, 



(17) 



5r„(a--l) =-y- 2 



S^ 





( — l)^-iß , x"-2» 

 (2 s)! (n — 2 s)! ' 



Remarquons encore que la formule (10) se présente sous la forme 



^t 



(18) 



Ix {--^\<pn-iix) = ny„(a--)+ ^ — ( 2 s)! " ^"-2^(3--) , n>2, 



formule qui nous sera très utile dans nos recherches suivantes. 





3 'S* 



O 



» ,. 



§ 3. Les fonctions d'Euler. 

 La suite des polynômes d'EuLER 



(1 ) Xo {^), Xi i^) , Ziix), ■■■, Zn (X) , 



est définie par les équations aux différences finies 



(2) 



x" 



7n(x)+7„(x — ]) = — , , n>0 



En effet, on voit immédiatement que ^„(x) est précisément du degré n par 

 rapport à x; posons 



Ü. K. D. Vidensii. Selsk. Skr., 7. Kække, nuturvidensk. og mathem. Afd. X. 3, 



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