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De plus, il est 1res facile d'évaluer, pour les Bn et les T,,, une suite de for- 

 mules récursives dont les coefficients contiennent les deux sommes susdites. Nous 

 nous bornerons à développer les formules de ce genre qui sont essentielles dans 

 les recherches qui nous occupent ici. 



Remarquons tout d'abord que les développements pour les Sn{x,p) et les an{x,p) 

 que nous avons donnés dans le paragraphe 4, nous donnent des formules du genre 

 susdit. 



En effet, posons, dans la formule (12) du paragraphe 4, a; = 0, ar^ — 1, puis 

 soustrayons les deux résultats ainsi obtenus, nous aurons la formule inverse de 

 celle de Bernoulli, savoir: 



r m 11 



Traitons de la même manière les formules (14) et (16) du paragraphe 4, nous 



aurons: 



<-^ 



(2) "^P" = 2^„+,(p)-p"+'+^(-l)-i("+^)ß.(2<T„_2r+,(p)-p"~^-'), 



r = 1 



ce qui est l'inversion de la formule d'EuLER. 



Posons maintenant, dans la formule de Bernoulli, 



^ ni—\ 



m s,„_, (r) - r'" - '^ r—' =^(-1)» i (^^^ B, r"'-2« , 



s = 1 



successivement 



/• = 1, 2, 3, ..., p-\, 



puis additionnons les p — 1 équations ainsi obtenues, nous avons à étudier la somme 



A. = Sra_i(l) +Sm_i(2) + ... + s„,_i(p— 1). 



A cet effet, ordonnons le second membre selon les puissances 



1""-!, 2"'-i, 3"'-i, ..., (jo— l)"'-i , 

 nous aurons: 



A = (p-1) • !"-• ^ {p-2) ■ 2"-! + . . . + (p - (/> - D) ■ (p-^)l"-' , 



ce qui donnera immédiatement: 



A = ps„,_i(p— 1) — s„,(p— 1). 

 Cela posé, nous aurons finalement: 



^ m— 1 



(3) ^(-l)'-'(^^)s„.-2,(p-l)i^r = m(p- 2)*'" i(p-l)-('" + l)s«.(p-l)- 



r = 1 



