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D'autres formules récursives de ce genre sont des conséquences immédiates 

 des développements de <p,iipx) et ;(n(px) donnés dans le paragraphe 5, savoir les 

 formules (21), (22) et (23). 



Le premier de ces développements: 



r = m 



\~' ( l)'"p"'-'"-l 



^m(p^') = P"'<fmix) + ^ i -—-- Sr{p—l)fm-r{x) 



r = l 



donnera pour x ^ et m = 2n respectivement ni = 2n + 1 ces deux formules 

 récursives: 



r = H — 1 



(4) (/^" + '-/))ß„+^(-l)'-(2")i)2''-2'S,,(p-l)ß„_, -^ i-l)"{s2nip-i)-~npS2„-lip-l)), 



r = 1 

 r = n— i . 



(5) ^'(-l)'-(^;+})p2..-2's2,+i(p-l)ß„_, = (-l)"(|s2„+i(p-l) - [n I- 2-)p«2„(p-l)j ' 



r = 



formules qui peuvent être traitées d'après la méthode appliquée dans les para- 

 graphes précédents. 



Les deux formules (4) et (5) sont dues à M. A. Radicke'); posons dans les 

 formules en question p = 2, nous retrouvons les formules 9 et 10 de la Table. 



Remarquons encore qu'il est permis de remplacer, dans (4) et (5), les Sm{p—\) 

 par les s,n{p) correspondantes. 



Posons, dans (3), m == 2n, puis soustrayons de (4) le résultat ainsi obtenu, 

 nous aurons: 



(r = H— 1 

 p(/.2''-l)ß„ + V(-l)'-(5")s2.(p-l)(p2n-2.~l)Z^„-. = 



\ = (— l)"(n(p-l)s2„^i(/3-l) — 2nS2„(p-l)), 



formule qui est essentielle dans la théorie des nombres de Bernoulli. %. 



Quant à la formule (22) du paragraphe 9, savoir: 



v=_m 

 V""' (_l)r„m-r-l 



XmipX) = ^ {T^V)\ '^'•+l(P~l) ?"'-'■ (*^)' 



r — u 



OÙ p désigne un nombre pair, nous aurons en posant æ^O et m =^ 2/i respective- 

 ment m ^ 2n j 1, les formules récursives: 



r — n i 

 (7) ^(-l)'-(^J?j:/)p2.-2r^2r+l(p--l)ßn-r = ("D'-^-Tan + l (p-1) ~ (n + \ )p ^2„ (/>- -1) V 



') Die Recursionsformein für die Berechnung der Bernoullisclien und Eulersclien Zahlen, p. 7; 

 Halle a. S. 1880. 



D- K- D. Vidensk. Sclsk. Skr , 7. Hække, luituividensk. og niathcm. Alct X. 3- 42 



