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r =_n_—i 



(8) (22"-l)pß„+^(-l)'-(.^'^;)/,2n-2'-<T2.(p-l)ß„-r = (-1)"K (/^-l) - »P <T2„-1 (/)-!)). 

 r = 1 



donl la dernière est très curieuse en comparaison avec la formule (4). 



Posons p — 2, nous retrouvons de nouveau les formules 5) et 10 de la Table. 



Du reste, on pourrait, dans (7) et (8), remplacer les amip — 1) par les <7m(jD) 

 correspondantes. 



La troisième des formules susdites, savoir la formule (23) du paragraphe 5: 



Xmipx) = p"'/m(.r) + ^, yf ar{P'-l)x,n-r{X), 



)■ = 1 



où p doit être un nombre impair, donnera de la même manière les formules 

 récursives 



r — n— i 



(9) (p2n-l _^1) r„ +^(_l)r^2/J-l y„„2r-l 2-^'- aor{p-\) T„ r = (-l)"'» 22«-l c72„-l(p-l) , 



r = 1 

 r = II— 1 



(10) ^{-\Y[2'i'^^p^'-'^-'2^a2r + x{p-\)Tn-r = (-1)""' 22'-l <T2,. (/)-l). 

 r = 



Dans ces deux formules on pourrait remplacer les a,„{p — 1) par les (T,n{p) 

 correspondantes, pourvu que nous remplacions en môme temps, dans (9), /j^n-i — l 

 par /j2" ' 1-1. 



Pour mettre en pleine lumière la grande flexibilité de nos méthodes générales, 

 nous avons encore à étudier les deux suites parfaites formées des deux poly- 

 nômes : 



s =£-1 ä ^ p I 



(11) fnix) - 7jr-^(^ + f )" . G,.(x) ^ l -^^-^y-i^+^-^Y 



qui figurent à la fin du paragraphe 9. 



Nous aurons immédiatement, pour le premier de ces deux polynômes, les 

 deux développements: „ 



(12) !/"(-) -^(ÊTrM;iit^n-(-). 



^ 2 



(13) |/„(a-) = (p-l)Xn{x) +^ %-^^ Xn--^i^) ; 



posons æ^^O, puis remplaçons n par 2n respectivement par 2n -|- 1 , nous aurons 

 respectivement la formule (5) et la formule nouvelle: 



r -- n 1 



(14) S2n+X{p~\) = ^-=^£^(p-l)p-" + ' -f^'( - 1)'-(^;':^J)S2„-2.(P l)(^)^+'r,+ l. 



