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dans laquelle on pourrait remplacer les s„, (p — 1) par les «„, (p) correspondantes, 

 pourvu que nous remplacions en même temps le facteur p — 1 du premier terme 

 au second membre par p [-1. 



Quant au polynôme G„(x), nous aurons pour p pair: 



(15) y G„ (X) = ^„ (X) +^ %yr^^Zn-2r (x) , 



r ^ l 



s-, 



(16) |g,.(x) =^ (2T+ff p^l. fn^^-ri^), 



tandis que nous trouvons pour p impair: 



<^ 



(17) Y^"^""^ =^ irtl^AW^ Xn~-^-'^x) , 



^"i^ 



(18) I ^"^^) -^ (2r+2l!p^+2 f«-2r-,(x). 



r = 



Posons dans les quatre dernières formules .t = 0, nous aurons, pourvu cjue n 

 et p soient de parité différente: 



<Vi 



(19) an(p-l) = ^<7„_,(/,-l) +^(-l),.(2" )/>2r^,, 2r(p-l)ßr, 



/• = 1 

 n-1 



(20) <7„(io-l) =-- n ! 2/)"^„(0) +^(-l)'-(2r'f 1 ) (2)'"^'''"-^-' ^^^^^ ^'•+' ' 



ru 



dans ces deux formules il est permis de remplacer les <t„, (/) — 1) par les amip) 

 correspondantes. 



§ 14. Exemples des formules irrégulières. 



Pour obtenir des formules récursives d'une nature entièrement différente des 

 précédentes, nous avons à étudier le polynôme 



<>• '•«-l''2^.(V)9-'- '•« = ^^ 



nous aurons pour n = l et n = 2 respectivement: 



(2) f,(x) = x^^ , ¥.Ax) = x^+x+^. 



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