45 327 



tandis que l'équation fonctionnelle (3) donnera la formule recursive: 



(13) a„_t = a,,^ a„-2, » "^ 2. 



Appliquons les valeurs initiales : 



«u -= 2, Ol = 1, 

 nous aurons généralement: 



(14) «fin = 2 , öGn + i == 1 , ao„ + 3 = —2 , aG„ + 2 = —1. 



Posons pour abréger 



2cosn/!/ = (/>„(2cos^), 

 nous aurons : 



(-1)" 

 2 



^nW =^W-'^2n(2'M; 



c'esl-à-dire que l'équation algébrique du degré n 



(15) ¥n{x) = 



a les n racines négatives inégales. 



(16) «p = _cos2^?£±^, 0<p<n~l, 

 de sorte que nous aurons 



(17) ap + ö„_p_i = — 1 , p>n~p — l. 



Cela posé, il est évident que ¥n{x) représente une solution très intéressante 

 de l'équation fonctionnelle 



{-l)nf(-X -1) = fix), 



OÙ f(x) est un polynôme du degré n par rapport à x. 



Quant aux applications de V'„{x) dans la théorie des nombres de Bernoulli, 

 nous aurons les deux développements: 



(18) 



2 y'»,(x) = g,.,+^ 2m -25-1 i 2s+l j 2^-+2 M^'"-2s(x-) , 



<'f 



nq^ 1 »• /-v^ "V '" /2m— 2s \ (m — 2s)! 



s = ^ 



Dans (18) nous aurons par conséquent: ~ 



Är„+i = 0; 

 mais je n'ai pas réussi à déterminer sous une simple formule la valeur de /fan- 



Posons dans (18) m = 2/1+1, x= "X' "ous aurons, en vertu de (11) et (14), 

 la formule recursive 



(2m 'Y^~'(-l)M2n + l)/4n-2s + n p , ,.„ 



^^^^ 2^ 4n-^7Xr l 2s 11 j ^" » = (-1)"'"" . 



