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où nous avons posé pour abréger: 



Posons dans la même formule m = 2n et x = 0, x^ — ^-^, puis soustrayons 

 les deux équations ainsi obtenues, nous aurons: 



s -0 



Enfin, différentions par rapport à x la formule (18), puis posons m = 2n }-l, 

 cr = 0, il en résulte: 



r99^ V' ( -1)^(2" +1 ) /4n-2s+l\ „ _ (-l)"-'n(n+l) 



^ ^ ^ (4n-2s + l)2''n 2s + l j ^"^ - 24n-2 



Quant à la formule (19), posons m = 2n — 1, æ ^ 0, nous aurons: 



m^ ^\^ \-iy{2n- l) /4n-2s-2\y _^ (-1)"-^ 



^'''*^ ^ (2n— s— 1)224 2s j^'.-^~ 22« 2 ' 



tandis que les hypothèses m^2n, x= — y donnent: 



m^ ' V (—1)'" /4/j-2s\ p. _ 1 — (— 1)" 



^ ' ^ (2n s)22»l 2s j^"-s - 22" ' 



s ^ 



On voit que plusieurs des formules récursives que nous venons de trouver 

 sont homogènes. 



DilTérentions plusieurs fois par rapport à x les formules (18) et (19), nous 

 trouverons des formules récursives irréguiières d'une forme plus compliquée. 



CHAPITRE IV. 

 Formules linéaires incomplètes. 



§ 15. Etude d'un polynôme entier. 



Désignons par a: et « deux variables complexes, par n et p deux nombres 

 entiers non négatifs, nous avons à étudier le polynôme entier du degré n+P- 



(1) /"(x) = (a; + «)"(x+l — a)P. 



Écrivons 



f{x) = {X + «)" [{X -f a) + (1 - 2a))P , 



nous aurons, en appliquant la formule binomiale: 



