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s-P 



(2) nx) =^(^)(l-2a)'(æ + a)n + P-S 



s =^ o 

 el il csl évident que l'identité 



f{x-\) = {x-~a)P{{x-a)-{\~-2a)Y 



donnera de même: 



(3) f{x-\) =^ V- D* (")(!-- 2«)» (^ -«)"+"" 



/^, 



Cela posé, additionnons, puis soustrayons les formules (2) et (3), nous aurons 

 ces deux développements: 



(4) 



f{x) 



(5) 



[Pyn+p-s)\{\-2ayxn + P-s{x + a) + 



^{~Ml){n+p-s)\{\-2arxn + P-s{x-a), 



s --a 



fix) = AVp(«)-| T'(^](n+/j-s)!(l-2a)V„ + p_, + i(x- + «) 



s = n 



où le terme Kn,p{a) qui figure au second membre de (5) est indépendent de la 

 variable a;. 



Pour déterminer la valeur de A',,,,, («) nous ditrérentions par rapport à x la 

 formule (5), ce qui donnera: 



(6) 



f{x) =^ (P\{n^p-s)\{\-2aYfn+p-s{x + a)- 

 s = n 



-^^(-l)»("]("+p-s)!(l-2«)*Y„ + „_,(x--«), 



s =0 



et nous aurons évidemment: 



(7) f'{x) = n(æ + a)«-i(^ + l— «)''+p(a.- + «)"(æ+l — c!)P-i. 



Développons maintenant, en vertu de (5), les deux fonctions qui figurent :ui 

 second membre de (7), nous trouvons précisément tous les termes du second 

 membre de la formule (6), mais nous trouvons en outre un terme qui est indépen- 

 dent de x; c'est-à-dire que ce terme constant par rapport à x s'évanouira, de sorte 

 que nous aurons: 



