330 48 



ou, ce qui est la même chose : 



K,,, p (a) ^ — — _-j Kn+\, ,,-i (a) ; 

 c'est-à-dire que nous aurons : 



(8) Kn. p («) = -li^) f ^-+P' "(«)• 



Or, l'identité évidente 



(æ + a)'" _ (æ-f- «—!)'" _ (x-^a)"' _ "^ (— iy{l—2uy{x~- u)"'-' 

 m\ m\ ml ^^ s! (m — s)! 



.5 = U 



donnera: 



5 = »1 + 1 



(x+«r , , s v^ (—1)^(1-2«)» ^ . 



car les deux membres de la formule (9) sont des éléments de deux suites harmo- 

 niques. 



Remarquons ensuite que la formule (9) peut être obtenue directement de (5) 

 si nous posons /) =- 0, n = m et si nous divisons ensuite par ml. 



Cela posé, nous aurons : 



(-i)'"(i-2«r+' 



d'où, en vertu de (8), généralement: 



(10) K^.p{x) ^ J-^^^;(i-2«)"+''-*^'- 



Soit ensuite </<n+p un positif entier, la formule (4) donnera: 

 DS[{x + ar{x-^l-a)p] ^^(P\n \-p-s)l{l~2af;;n+p-q-s)ix^a) + 



s = (I ^ ' 



(11) 



s =U 

 S *= il 



+ ^{-iy("\(n -r p-s)l {l -2ayxn+p-.,~.{^-a), 



s = ^ 



OÙ il faut supprimer les termes contenant des fonctions d'EuLER à indice négatif. 



Remarquons que la formule (4) est un cas particulier de (11), c'esl-à-dire 

 correspond à 7 = 0. 



La formule (5) donnera de même: 



(12) 



DS^'[{x \-a)"(x-\l-u)P'\ =^^(s)(" \ p-s)l(l^2ay,fn+p , s{x\-a)- 



s = n 

 — ^(-lff"V" f P-S)' (l-2af f„+p-,_s(a.- — «) , 



