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où il faut supprimer les termes contenant des fonctions de Bernoulli à indice 

 négatif. 



Il est évident que la formule (5) n'est pas un cas particulier de (12); c'est-à-dire 

 qu'il faut étudier séparément la seule formule (5) et l'ensemble des formules (12). 



Il est très interessant, ce me semble, que nos identités algébriques précédentes 

 nous donnent, d'un seul coup, toutes les formules incomplètes de première espèce 

 connues et un grand nombre d'autres. On sait que les formules connues de ce 

 genre ont été trouvées par des méthodes différentes. 



§ 16. Formules de M. Saalschutz. 



Posons, dans notre formule générale (5) du paragraphe 15, a = , la fonction 

 (Pn+p + i(x) disparaîtra, de sorte que nous aurons, après une légère modification, le 

 développement suivant : 



(1) 



s = n— 1 



+^(-1)^(5^1) (n+p-s-l)!fn + p-s(a;), 



ce qui nous donnera les formules incomplètes que M. Saalschütz') a trouvées à 

 l'aide de la formule sommatoire d'EuLER et de Mac Laurin. 

 1" Supposons tout d'abord n-^-p pair, savoir: 



(2) n+p = 2/n, 



puis posons x- = 0, nous aurons la formule incomplète: 



Bn 



.< P=^ < 5-' 



*'^^ (2m + l)! ~^^ ^'\2s+\)2m-2s^^^ ^^2^ + 1; 2/: 



lm — 2s ' 



d'où parliculièremenl pour p=^n, ce qui donnera également m = ;?, la formule 

 plus élégante 



^*' ^^ ^^\2s^\)n — s (2n+l)!- 



s = 11 



Supposons dans cette formule n^2q respectivement n == 2r/ ^1, nous verrons 

 qu'elle contient respectivement l'ensemble des nombres de Bernoulli: 



Boq+l, B2q, . . . . , ßgr+l- 



') Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 37, p. 374—378; 1892. Vorlesungen üljer die ßer- 

 noullischen Zahlen, p. 185—189; Berlin 1893. 



i). K. 1). \'iilensU. Selsk. Skr.. 7. Række, iiaturviilejisk. ofi iiKitlicm. .\fd. X. 3. 43 



