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Posons, au contraire, dans (1), a* = — y, puis ajoutons l'équation ainsi obtenue 

 à la formule (3), puis multiplions par 2*'" ', nous aurons: 



= 2 =2 



(5) 



(__l)m + n22-n-l =^(-l)'(2s + ijs*' î^m- +^(-l)*(2s" ^Y'' T,„_s , 



ce qui donnera particulièrement pour p^ n = m: 



<¥ 



(6) 22«-2=^(-l)»(2s",l)2^^r„_,, 



s = Il 



formule qui est du même caractère que (4). 



2° Supposons ensuite n-\-p impair, savoir: 



(7) n + p = 2m + l, 

 la formule (1) donnera pour a' = 0: 



< £=? < »-2 



(-l)"'+"n!/>! _V / ;, \^„.3s V(_iJ " \ ^"-» 



^^> (2m+2)! ~^ ^ ^M2s+2;2m-2s ^^ ^'\2s + 2 2m-2s' 



^ ' s = s = Il 



d'où, pour p = n-\-l, après un simple calcul, la formule (4). 



Posons encore, dans (1), x = — y, nous aurons par le procédé ordinaire: 



<P-2 < n-2 



~?-2 = ; 2 



(9) (-l)".+"22'"-2 =^(-1)^(24 2) -"'^"-»-^(-^^'(2/^2)^'''^'"-»' 



s = ü s = 11 



soit /j^n-f-l, ce qui donnera m = n, nous retrouvons, après un simple calcul, la 

 formule (6). 



§ 17. Généralisations des formules de Stern. 



Supposons, dans la formule générale (12) du paragraphe 15, « = 0, remplaçons 

 q par 7 — 1, où 



l<g<n — 1, 



puis posons pour abréger: 



(1) n+/) = m \-q, 



l'hypothèse x = donnera : 



r-l s = n— 1 



s = s = 



