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La formule (16) appartient à Euler '). 



Posons ensuite, dans (14), x^—-t^, m = 2n-)-l, respectivement m^2n, nous 



aurons : 



s = n— 1 



(20) (2n + l)£„-(22« + 2)(22"-l)B„ =^ (2")2^'ßs£«-. , 



s = 1 

 s ■= n— 1 



(21) 2n(2n-l)ß„_, + (2n(22n-2) - 24")ß„ =^ (^'j)(22"-2«_2)24»ß,ß„_, ; 



s = l 



soustrayons les formules (4) et (20), puis, en introduisant les T,,, nous aurons la 

 formule de Scherk-): 



s ^ /l— 1 



(22) E„ _ r„ =^ (2n- 1 j y,^ ^_^_^ ^ 



tandis que nous retrouvons la formule (5) en soustrayant (17) de (21). 



Que 

 donnent : 



Quant à la formule (15), les hypothèses m = 2/j, a; ^ respectivement x^ — -^ 



s = n— 1 



(23) Tn+i = y (^^^^ )r,+i T„-, 



s = 



respectivement la formule (22) de Schehk; la formule (23) est due à Eur.ER''). 



§ 21. Formules d'addition. 



Il est très facile de généraliser beaucoup les formules (6) et (7), (14) et (15) du 

 paragraphe 20. 



En effet, écrivons comme suit les formules en question: 



5 = n 



(1) {X \-\)(pn-\{x) — (n — 1)9J„(X) =^ fs(0)f„-s(x-) , 



s = 

 5 = n 



(2) (x+l)^„(x) — (n + l)7„+,(a;) -=^/.(0)/„-s(x) , 



s = n s = 11 



(3) 2"-'f„(y) =^/s(0)f„-.(xO =^if,{^)Xn^Åx), 



') Institutiones calculi differentialis , p. .41 G; Saint-Pétersbourg 1755. Opuscula analytica, t. Il, 

 p. 206; Saint-Pétersbourg 1785. 



-) Mathematiscbe Abhandlungen; Berlin 1825. 

 ') Institutiones calculi differentialis, p. 495. 



