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je dis, que nous aurons les formules générales: 



s = n 



(4) (a; + y + l)^„_i(a- + y) - (n — l)^„(a; + y) = ^ <fn-s{x)(fs(y) , 



s = u 

 s = n 



(5) 



(æ + y + l) xn{x + y) - (n-{-l) xn+i{^ + y) = J>, /n-s(x)/.,(y) , 



s=0 

 s = n 



(6) 2"-Vn(^Y^) =^fn-s(■^•)7s(y)• 



S = 



En effet, remarquons que les deux membres de chacune des trois formules 

 générales forment des suites harmoniques qui deviennent égales deux à deux pour 

 y = 0; le théorème II du paragraphe 1 nous conduira immédiatement au but. 



Posons maintenant dans nos trois formules générales y = — x — 1, puis rem- 

 plaçons n par 2n, les équations fonctionnelles (1) du paragraphe 5 donnent immé- 

 diatement les formules remarquables 



s = 2/1 



('_1^nr2/J— nß„ 



(7) 



td)'|^"^2^(-i)V.(x),.-.(x), 



s = ü 

 s = 2n 



(8) (2ny!"^^-r2 = ^(-l)^/.W/2„ si-r) , 



s = U 

 s = 2n 



Remarquons que les hypothèses x ^0 ou y ^ sont étudiées dans le para- 

 graphe précédent, il nous reste encore à considérer les deux cas suivants : 



1" Posons dans (7), (8) et (9) x = y^— — , nous aurons respectivement: 



s = n— 1 



(10) ((2n-3)22«-f4)ß„ = ^ (2nj^22^-2)(22"-2s_2Ui.ß„-s , 



S= 1 

 S=_Il" 1 



(11) r„+,-2£„ =^ Q^)£sÊ„-s, 



s=_/i— 1 



(12) (22«-l)(22«-2)ß„-E„ =^ (^^)(22^-2)ß,E„_,; 



S = l 



soustrayons, puis additionnons les formules (12) et (4) du paragraphe 20, nous aurons 

 la formule (11) du paragraphe 20 respectivement 



5 = » - 1 



(13) (22« -'~2) Tn =^ (ÏÏ-Î)^""'' T.En^s. 



