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2° Posons, dans (1), x = — y, y^ — -j-, puis remplaçons n par 2/i respective- 

 ment par 2/1 + 1, nous aurons: 



(14) (2n-l)£„-(22n-l)(22n-2)i^„ =^ (^^)(22^-2)2-^ß,£„_s , 



= I 



s = 71—1 



(15) 2n(2/j-l)£„_i-(2n+22n)(22"-2)ß„ ^^ (l"](2^n~2s_2)(2^-2)2^ B^Bn-s, 



s = l 



d'où en soustrayant (12) de (14) 



(16) 22« Ê„ - (22«+i-4) T„ =^ (2n-l j^22,_2^2,„ ,,y,^^^^ ^ ^ 



s = 1 



tandis que nous aurons en soustrayant (10) de (15): 



s=_n— 1 



(17) (2;i-l)22''£„_, -(22"+4n-4)r„ =^^(^^7{)(22s-2)(22"-2»-2)22'-2.^rs/i,._.. 



§ 22. Sur les produits yn{x)fp(oe), /« (a?) 7^, (ac) et f „ (i*^) /,, (æ). 



Il est très facile de généraliser à un autre point de vue les formules (1) et (2) 

 du paragraphe 21. 



A cet etîet, posons pour abréger: 



/«^^^ - n, . ^ (2s)!(;i--2s) 



2s)! 



s = l - - 



2 



O (X) = y (-i)-r.,MX"^2.-i 



y«v^; ^ (2s+l)!(/i— 2s— 1)! 22^+2 ' 

 nous aurons pour les çc„(x): 



^n — 1 ^n — 1 



(1) fn(^) = fni^)+7Z iTTo ' fn(-l-— 1) = /n(a;) — 



(n-l)!2' ^"^-^ •' '"^-^ (n-l)!2 



et pour les ^„ (a) : 



x^ x" 



(2) /„ (x) = —^ + 3„ (x) , ;^„ (X— 1) = ^^y^ — ^„ (x) , 



ce qui donnera immédiatement les trois équations aux différences finies 



(3) ^„(x)^p(x)-^„(x-l)^p(x-l) = ^Çi^) + ^Jjl^ , 



(4) ^„(x)^p(x)-^„(x-i)^p(x-i) = î:i^+?^ , 



(6) 



fn{x)xp(^) f ^„(x-l);^p(x-l) = ?^|M + ^^^i^) . 



