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Cela posé, nous avons à étudier les trois développements suivants: 

 1° L'équation (3) donnera un développement de la forme 



(7) 



s=l 



Si 



+r*-=s^t+r-r>-.-« 



OÙ la constante Kn,p se détermine comme suit: 



Diiïérentions par rapport à x la formule (7), puis appliquons l'identité 



Dx {<Pn (X) (fp (X)) = (pn-l (X) fp (x) + ^„ (x) fp-i (x) , 



nous aurons en développement, d'après la formule (7), les deux fonctions qui 

 figurent au second membre 



d'où immédiatement: 



Kn,p = — Ä„+l,p-l = {-l)P-' Ka+p-1, i . 



Or, nous aurons en posant dans (7) p=l, ce qui nous conduira à la for- 

 mule (1) du paragraphe 21 : 



{-If + 'Br 



V2r-1, I = 



Kor, 1 = 0, 



(2r)! 

 de sorte que nous aurons pour Kn,p la détermination suivante: 



[ Kn,p = 0, n+p = 2fc+l, 

 (8) K (-^r^'^" n + p ^ 2k 



An,p — /«j.^,, . n-rP -« ) 



(2fc) 



où k désigne un positif entier. 



Posons dans (7) particulièrement p = n, ce qui donnera k -= n, nous aurons : 



(») (.,.(x,)' = 1^, + (^„"),. w + 2 -^^'^^ (="-ir>-- w . 



tandis que l'hypothèse p^n + 1 donnera: 



^n+l 

 2 



(10) ^„{X)fn+i{x) =(^"„^^)î^2n+l(x)+^^"^'^^(^" ^'+^) f2„-2.+ , (x). 



s = 1 



Remplaçons, dans (7), x par le positif entier 7, nous retrouvons un cas parti- 

 culier d'une formule plus générale de M. E. Lampe'). 

 2° L'équation (4) donnera de même: 



2) Journal de Grelle, t. 84, p. 270—272; 1878. 



