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sidérer comme des inversions des formules contenues dans les deux paragraphes 

 précédents. 



Nous nous bornerons à citer les plus simples des formules en question : 



1" Posons, dans (9), .r = 0, puis remplaçons n par 2n respectivement par 2n-\-\, 

 nous trouvons les formules 100 et 101 de la Table. 



2" La formule (13) donnera de même pour .x = les formules 103 et lO^i de 

 la Table. 



3" Posons, dans (10), x= — y, puis remplaçons n par 2n respectivement par 

 2n-\-l, nous trouvons les formules KU et 105 de la Table. 



4° En dernier lieu, la formule (16) donnera pour rr ^ les formules 106 et 107 

 de la Table. 



On voit que les formules 104 et 10-") sont à considérer comme des formules 

 récursives incomplètes pour les £„• 



CHAPITRE VI. 

 Théorèmes sur des nombres entiers. 



§ 23. Applications des factorielles. 



Je me suis proposé de développer, dans ce chapitre final, quelques résultats 

 concernant la théorie des nombres, résultats qui se présentent comme des consé- 

 quences immédiates de nos recherches précédentes. Cependant je me réserve de 

 revenir, à une autre occasion, à mes recherches ultérieures de ce sujet. 



Nous commençons par une étude de la factorielle du rang n : 



(1) ojnix) = x{x+1) ... (a; + n— 1); 

 posons 



(2) OJn (X) = C,-^ X« +< .T" -' + ... + C„"-^ X , 



les coefficients CH sont les coefficients de la factorielle du rang n; nous aurons 

 particulièrement: 



(3) C„"=l, C„"-' = (n-l)! 



Posons plus généralement: 



(4) con{x + a) = C;;(«)ar" -f C^(«)x"-i + . . . + C;^-\a)x + €„"(«) , 



nous verrons que CHia) est, pour l<p<n—l, la somme de tous les produits 

 formés de p facteurs différents pris parmi les n expressions 



(5) a, a + 1, a + 2, ...,a + n — 1, 



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