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tandis que nous aurons particulièrement : 



(6) Cl {a) = 1, C;;{a) = <On{a). 



Cela posé, l'identité évidente 



(Un(x-\^'a) — (Unix -{-a — 1) ^ ncon \{x-{~a) 

 donnera, en vertu du théorème I du paragraphe 2, le développement suivant : 



s = n— i 



(7) w„(x + a) = /■„(«) + n ■ ^in~s-V)lCLi{a)<Pn six), 



où fn (a) est un polynôme entier de «. 



Différentions maintenant n — p fois par rapport à x la formule (7), puis 

 posons x^O, nous aurons la formule recursive pour les ß„: 



<f 



(8) "^Pc,^(a) = C^,(«) +"^ £„"_-/(«) 4^(-iy-("-^^+-^-^)ß.e r(«), 



s = 1 



d'où particulièrement, en posant a^O, p^n — 1, la formule de Schlömilch') 



S = 1 



formule qui est retrouvée par M. A. Radicke"). 



Nous obtenons d'autres formules récursives de ce genre en appliquant le poly- 

 nôme du degré n par rapport à x: 



(10) i?n(-)-(- + ^)(- + „-+l)-(^ + n^)' "^^' 

 qui satisfait évidemment à l'équation fonctionnelle: 



i—ir iJni-X-l) = ßnix), 



de sorte que nous aurons, en verlu du théorème I du paragraphe 8, ces deux 

 développements : 



v;^(;j-2s-l)!C;;Y 



(11) 2 ^'"^-''^ ^ ^^" ^^ —{n+W^^ fn-2.{x), 



2 ^'^"^•^■) - ^'" ^2 in- 

 < - 

 (12) |/4(a-) =2, "Tn+f)2 '^" ^^^^)' 



S= Il 



•) Archiv de Grunert, t. 9, p. 334; 1847. 



■^) Die Hecursioiisfornieln für die Berecliiuing der lienioullisclien und Eulersclien Zalilen, p. 15; 

 Halle a. S. 1880. 



