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où la constante Kn qui figure au second membre de (11) satisfait à la condition 



Appliquons maintenant les formules (10) et (11) du paragraphe 8, nous aurons, 

 en vertu de (11) et (12) ces deux formules récursives: 



(13) (n+l)C ^ -:!2„(Cî^+J^(-l)-'("-'^2f ''">"+l)"^'Ci"^0' 



s = 1 



(14) 22.Cf^|' = (n + 1) •^(-l)-'(%,^Çi;-')(n+l)^^22p-2^r.„C,^'-^% 



s = u 



où il faut admettre, dans (13), p^ 1. 



Posons encore dans (12) a;=— y, puis remplaçons n par 2n, nous aurons, 

 après une légère modification, la formule curieuse: 



s ^ il— 1 



(15) [l-3-5...(2;i-l)]' = (-l)''(2n)!22"^^^(-l)^(2n+l)2" 2»2-'»i;„ .C'",;^ 



§ 24. Généralisation d'un théorème de Lipschitz. 



Démontrons maintenant comment nos formules récursives nous conduisent 

 immédiatement à des résultats intéressants concernant la nature algébrique des 

 nombres de Bernoulli. 



A cet effet, prenons pour point de départ la formule de G.- F. Meyer, savoir 

 la formule 8 de la Table: 



s=_n- 1 



(1) (2n + l)Bn+^{-lY(^;'lA2-^''Bn-s =- (-1)» i(22«-2-^^) , 



s = 1 



je dis que l'expression 



(2) «„ = 3-5-7...(2n+l)-2ß„ 



est, pour tous les n, un nombre entier impair. 



Ku eiïet, la formule (1) donnera, en vertu de (2), une formule résursive de la 

 forme 



s = n~l 

 a 



s=l 



OÙ A' et les A,, sont des nombres entiers. 



n + ^-^AsUn-s = 2A' + 1, 



Remarquons ensuite que nous aurons a, = 1; la conclusion ordinaire de n à 

 71 -fl nous conduira immédiatement au but. 



Cela posé, nous aurons une expression de la forme 



^^' ^" = 5„ ' 



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