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où a„ et bu sont des positifs entiers impairs, premiers enti'e eux. 

 De plus, nous aurons, en vertu de (2): 



(4) 3 • 5 • 7 . . . (2n+l) = (mod fc„). 



Désignons ensuite par 2 G„ le dénominateur général des n premiers nombres 

 de Bernoulli, savoir 



G„ est un nombre impair qui n'est jamais divisible par un nombre premier plus 

 grand que 2/i-j- 1. 



Or, il est très intéressant que la Cormule de Schlömilch, savoir la formule (9) 

 du paragraphe 23, nous détermine immédiatement la valeur exacte de G„. 



En effet, remplaçons dans la formule susdite n par 2n+2, nous aurons, après 

 une légère modification: 



s = I 



Soit maintenant, dans (5), 2/1 + 1 un nombre composé: le premier membre de 

 cette formule est un nombre entier, de sorte que nous aurons dans ce cas: 



Gfi = Gn—i ; 

 soit, au contraire, 2n+l un nombre premier, nous aurons: 



G„ = (2n+l)G„_, , 

 d'où la proposition suivante: 



I. Le nombre Gn est précisément le produit de tous les nombres 

 premiers qui ne dépassent pas 2/i-|l, de sorte que le nombre impair 

 bn qui figure dans le dénominateur de ß„ ne peut j'amais être 

 divisible par un nombre carré plus grand que l'unité. 



Cela posé, je dis que la formule (6) du paragraphe 13, savoir 



(6) 



r = n 1 



= (-l)"(n(p-l)sv„_,(/j-l)-2;!S2„(p-l)) , 



nous conduira au théorème suivant: 



II. Désignons par n et p deux positifs entiers quelconques, 

 l'expression 



(7) CM ^ '■"''^;;-"''- 



est toujours un nombre entier. 



Il est évident qu'il suffit de considérer le cas où p > 1. Remarquons ensuite que 



