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est un nombre entier, puis supposons que les expressions 



c. (p) , C3 (p) , . . . , c„_i ip) 

 aient la même propriété: nous aurons, en multipliant par p" les deux membres 

 de (6) et en appliquant l'identité évidente 



pour les Cn(p) la formule recursive 



r = n i 



cAp) -^^{-ir[^"2r^)s2r-l(p-l)p'-'Cn-r{p) = 

 r — 1 



ce qui nous conduira immédiatement au but. 



On sait que Lipschitz ') a démontré que l'expression 



2n 

 est toujours un nombre entier; ce théorème de Lipschitz appartient à ceux sur 

 lesquels M. P. Bachmann -) remarque qu'ils „bisher auf rein arithmetische 

 Weise nicht gewonnen werden konnten." 



Soit p de la forme 6m J^l, nous verrons par le même procédé que l'expression 



est un nombre entier. 



Remarquons que le dénominateur de B^, dans la formule (3), est le produit 

 de certains nombres premiers différents entre eux, le théorème II montrera que 

 l'expression 



(9) dn(p) = /)(/)2"-l)ß„ 



est toujours un nombre entier, pourvu que p le soit. 



Cela posé, on voit que le nombre impair b,i qui figure dans le dénominateur 

 du second membre de (3) n'est divisible que par des nombres premiers de la forme 

 2Å 4-1) où Å est diviseur de n. Le théorème de v. Staudt et de Thomas Clausen 

 montrera que b„ est précisément le produit des nombres premiers susdits. 



Appliquons maintenant la formule d'EuLER-') 



(.0, r„ ^ 2^!(aï=Ma , 



nous aurons, en vertu de (9), la proposition suivante due à Worpitzky*): 



') Journal de Grelle, t. 96, p. 3; 1884. 



-) Niedere Zahlentheorie, t. II, p. 31 ; Leipsic 191Ü. 



') Opuscula analytica, t. II, p. 273; Saint-Pétersbourg 1785. 



■>) Journal de Grelle, t. 94, p. 231; 1883,. 



