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III. Soit l'indice n de la forme n = 2P{2q-\-l), le ;i-ième coefficient 

 des tangentes Tn est de la forme 



(11) Tn = 22"-'' 2(2 Q^l). 



EuLEu') indique que le nombre (9) pour p = 2, savoir rf(2), est un nombre 

 entier. Cependant, j'ignore s'il a connu le théorème III. 



Soit enfin, dans (5), 2n+l un nombre premier, nous aurons, en multipliant 

 par 2G„, la formule en question, une égalité de la forme 



(2/))!2nG„-i = (-l)«-'a„ + (2n+l)il, 



où A est un nombre entier; c'est-à-dire que le théorème de Wilson donnera la 

 proposition suivante: 



IV. Soit 2/1-1 1 un nombre premier, nous aurons toujours 



(12) a„ = (— l)"-iG„_i (mod 2n+l). 



!5 25. Théorèmes sur les nombres *„(/>), t«(p) et Cf. 



Les résultats du paragraphe 13 nous conduiront en outre à une suite de 

 résultats intéressants concernant les sommes s„{p) et <T„(p). 



En effet, appliquons les formules (4) et (5j du paragraphe susdit, savoir 



r == n — 1 



{p'" + '^p)Bn+^(-'ir(l'l.)p'" -'■s,r{p-l)B„-r = (-1)" («2« (/?— 1) - "P «2,.- 1 (/'"I)) , 



;• = 1 

 r =11 1 , , 



r = 



puis appliquons les formules élémentaires 



la conclusion ordinaire de m à ni + 1 donnera immédiatement le théorème suivant; 

 I. Soit n et p deux positifs entiers quelconques, et soit 2G„ le 

 dénominateur général des n premiers nombres de Bernoulli, nous 

 aurons toujours; 



(1) 2G„S2„(/)— 1) = (mod p) , 



(2) 2G„S2„+i(p— 1) = (mod p'-). 



Supposons (pie p soit un nombre impair non divisible par les nombres pre- 

 miers égaux à 2n+l au plus, le facteur 2G„ qui figure aux premiers membres des 

 congruences (1) et (2) peut être supprimé. 



^) Institutiones calculi difTerentialis, p, 495—496; Saipt-Pétersbourg 1755. 



