71 3.Ï3 



Ces remarques faites, nous aurons la proposition suivante: 



II. Soit n un positif entier quelconque, et soit p>2n^l un nombre 

 premier, nous aurons toujours: 



(3) S2„(p— 1) ^ (mod p), 



(4) S2„+i(p-l) = (mod /)2). 



Quant aux sommes <t,„(ju— 1), la formule (I'Euler du paragraphe 4 donnera 

 immédiatement le théorème analogue à I: 



III. Soient n et p des positifs entiers quelconques, nous aurons 



touj ours: 



(5) 22n-l<72,.(/^-l) ^ (mod p), 



(6) 22'.+' <r2„+. (/)-!) = (-!)"+' r„+, (mod p). 



On voit du reste que la congruence (5) est évidente pour une valeur impaire de p. 

 Discutons maintenant les résultats obtenus dans le paragraphe 23, la for- 

 mule (8) donnera immédiatement: 



IV. Soit n un nombre premier impair, et soit p un entier tel que 

 1 <p <^n — 2, tous les coefficients du polynôme Cj^ia) sont divisibles par n. 



Posons a =0, nous aurons, en vertu de IV, le théorème de Lagrange'): 



V. Soit n un nombre premier impair, et soit p un entier tel que 

 1 <^p<^n — 2, nous aurons toujours: 



(7) CP ^ (mod p). 



C'est un fait bien connu que Lagrange, en appliquant ses congruences (7), a 

 démontré en même temps les théorèmes de Fermat et de Wilson. 



Appliquons le théorème de Lagrange, nous aurons, en vertu de la formule (14) 

 du paragraphe 23, l'autre théorème : 



VI. Soit 2/1+1 >3 un nombre premier, et soit p un nombre entier 

 tel que 1 <,p^n — 1, nous aurons toujours: 



(8) - C^f^+/ = (mod (2p+l)^). 



Supposons p^n — 1, le cas particulier correspondant de la congruence (8) est 

 bien connu-). Dans une Note datant de ma jeunesse, j'ai démontré, il y a trente 

 ans à peu près, la congruence générale (8)^); cependent je ne veux pas prétendre 

 que la formule générale (8) m'appartienne^). 



Comme une autre conséquence de la congruence de Lagrange nous aurons, 

 en vertu de la formule recursive (15) du paragraphe 23, la proposition suivante 



VII. Soit 2n + l >3 un nombre premier, nous aurons toujours: 



(9) 1 • 3 ■ 5 . . . (2n —1) = (— l)"/! ! 23« (mod (2n + 1)») . 



') Mémoires de l'Académie de Berlin t. 2 (1771), p. 125—137; 1773. 



2) E. Rieke: Zeitschrift für Mathematik und Physik, Bd. 34, p. 190—191; 1889. C. Leudf.sdorf: 

 Proceedings of tlic London Math. Society, t. 20, p. 199—212; 1889. R. E. Allardice : Edinbourgh math. 

 Soc. Proceedings, t. 8, p. 16—19; 1890. 



') Voir ma Note insérée dans: Nyt Tidsskrift for Matematik t. 4, p. 1—10; 1893. 



■') Comparer ma Note dans: Nyt Tidsskrift for Matematik, t. 21, p. 8—10; 1910. 



