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(3) /"(-) =xi5-i ' 



s = u 



ce qui est toujours possible; nous aurons, en vertu de (2): 



(4) ßo = ~; 2/9p+ ^^~^y- ^o, 



s = l 



ce qui nous détermine ßp comme fonction de p seulement; nous aurons par exemple 



(5) ^o=y> /öl =-4-. ß2=0, ß, = -^, ^, = 0. 



Cela posé, nous aurons le théorème suivant: 



I. Les fonctions ^n(^) d'Euler forment une suite harmonique. 



L'analogie entre les fonctions de Bernoulli et celles d'EuLER est évidente. 

 De plus, nous aurons les deux théorèmes suivants: 



IL II existe un seul polynôme entier de x qui satisfait à l'équa- 

 tion aux différences finies 



s = n 



(6) ff(x) + ff(a:^l) ^^Cn,sx"~', . 



s = 



savoir le polynôme 



S=Jl 



(7) g{x) ^ J> c„,s(n— $)!;'„_ s (x). 



s = 



111. Soit \g„{x), c,i] une suite harmonique, les équations aux diffé- 

 rences finies 



(8) Gn{x) + Gn{x-1) = gnix), n>0 



déterminent parfaitement une autre suite harmonique [G„(j;), C,,]; car 

 nous aurons pour tous les n 



s = Il 



(9) Gn(x) = ^Cs/n-sjx). 



s = I) 



Cela posé, il est très facile de discuter la base [/?„] des fonctions d'Eu ler. 

 En effet, nous verrons, en vertu de (2), que les polynômes 



(10) gn{x) = (a- + l)/„(a;)-(n+l)^„ + ,(a,-) 



qui forment une suite harmonique satisfont aux équations aux différences finies 



(11) 9nix) f gn{x~l) = Xn (^) ^^ffJss)] ' 



s = u ^ ''■ 



ce qui donnera, en vertu de (,9): 



(12) (x + l)7„(x) = {n + l);(n + i(x)+^ßs/n-.{x), 



s =0 



