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d'où, pour p^3, la formule recursive 



(13) 



Pßp = — J>. ßsßp 



-s — l' 



Appliquons maintenant la valeur particulière ßo=0, la conclusion ordinaire 

 de m à ni-f 1 donnera, en vertu de (13), l'expression générale 



114) 



posons ensuite pour p > 1 



(15) y?2p-i = 



/Î2p = , p >, 1 ; 

 {-l)P-^Tp 



(2p — 1)! 22p ' 

 nous aurons, en vertu de (13), la formule recursive 



Tr=l, 



(16) 





ce qui montrera que les T",, sont des positifs entiers, et que Tn est, pour n > 1, 

 toujours un nombre pair. 



Introduisons dans (4) les expressions (14) et (15), nous aurons en posant 

 /)^2n+l, respectivement p = 2/i: 



s = n 



2r„+,+^'(-i)'(%t^)^''^"-^+i = (-i)"22"-i, 



(17) 



s ^ n —1 



^(-l)'(2s+l)2'^^«-s = (-1)"^^2 



s = 



2n 1 



c'est-à-dire que notre définition des coefficients des tangentes coïncide avec la 

 définition classique de ces nombres. 



La base [ßn] des fonctions d'EuLER ainsi déterminée, nous aurons les expres- 

 sions suivantes: 



(18) 



Zo(^) = -9-. /i(^) = 9- + 



4 ' 



^n-^ 



ZnW — 2' ni +^ (2s— l)!(n — 2s+l)!: 



et l'équation aux différences finies (2) donnera par conséquent: 



(19) 



;^„(æ — l)=y, ^,{x—l)=^-^, 



n + l 



^ 2 



Zn(^ — 1) = ^ 



1^ X«_ X~'_Ç 



2^' n! ^ (2s 



l)»-ir,xn-2»+i 



s = l 



(2s— l)!(n — 2s+l)!22s 



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