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Remarquons encore que la formule (12) se présente sous la forme 



= 2 



(20) (a; + y)/„(x) = (n+l)^„ + i(x) +^l^2s^)JW' /„-2. + i(x) , n > 1 , 



.s- = 1 



formule qui nous sera très utile dans nos recherches suivantes. 



§ 4. Formules de Bernoulli et d'Euler. 

 Posons dans les équations aux différences finies 



(1) M^) - <Pn{X-l) = ^^^j , 7n(æ) +/n(a;-l) = ~ 



successivement 



æ + 1, a; + 2, x-\-'d ..., x^p 



au lieu de .t, puis posons pour abréger 



(2) s„ (.T, p) = y^jx + s)" , an {X, p) =^ {—\)P-'{x + s)« , 

 nous aurons respectivement: 



(3) 



/'n(a;+p) — (— l)P/n(a;) = — ,-<rn(a:, p) , 



n! 



formules qui nous permettent d'exprimer sous forme explicite les deux sommes de 

 puissances numériques 



s = p s = p 



(4) Snip) — ^S", ff„(p) =^^(— 1)P-'S". 



s=l «=1 



Nous aurons en effet: 



(5) Sn{0, p) = Snip), Sn{ — l,p) = S„(/>— 1), 



(6) <TniO,p) = Onip), ff„(— l,p) =- <T„(p— 1), 



ce qui donnera, en vertu de (3), les expressions cherchées 



(7) Snip) = n\{<pn + lip)~<fn + liO)), 



(8) Onip) = n ! {Xnip) - (-l)P/n(0)). 



Jacques Bernoulli ') a donné explicitement les dix premières formules de la 

 forme (7), savoir les formules qui correspondent à l^n^lO, et c'est précisément 

 dans ces formules que les nombres de Bernoulli, savoir les 



ßj Bo B.J B^ B^ 

 se sont présentés pour la première fois dans l'Analyse. 



') Ars conjectandi, p. 97; Bale 1713. 



