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Bernoulli indique aussi la formule générale (5), mais sans démonstration, 

 sans éclaircissements sur la nature des coefficients du polj'nome f„(x). 



La formule (8) est due à Euler '). On voit du reste que celte dernière formule 

 est plus compliquée que celle de Bernoulli, parce que sa forme dépend de la 

 parité du nombre p. Dans nos recherches suivantes sur les fondions /„(-t^) ou 

 sur les nombres anip) nous retrouvons la même incommodité. 



Jacobi") semble avoir introduit le premier une variable continue au lieu du 

 positif entier p qui figure au second membre de (7). En effet, il a considéré la 

 fonction 



Ostrogradsky'), Malmstén'), Dienger-') ont de même considéré une variable 

 continue dans notre formule numérique susdite; mais c'est Raabe') qui a donné 

 la première monographie des fonctions de Bernoulli. 



On doit à Jacobi et à Malmstén des remarques importantes relatives à la 

 variation de (p„{x). Ostrogradsky a représenté les <fn{x) comme des polynômes 

 entiers de la variable x-{-l, représentations qui sont des conséquences immédiates 

 des formules (17) du paragraphe 2 et (19) du paragraphe 3 pour <pn{x — 1), respec- 

 tivement Xn(.X — 1). 



Raabe') a introduit dans le second membre de (8) une variable continue; 

 plus tard Hermite**) a résolu, à un autre point de vue, le même problème, tandis 

 que M. F. Rogel") a donné une monographie des fonctions d'EuLER. 



Il est digne d'intérêt que les deux suites harmoniques, formées par les poly- 

 nômes 



Sn{x, p) dn {^, p) 



n! ' n! 



nous permettent de généraliser les formules de Bernoulli et d'EuLER. 



A cet effet, remarquons tout d'abord que s„(.v, p) est toujours du degré n par 

 rapport à .r, tandis que an{x, p) est du degré n respectivement n — 1, selon que p 

 est impair ou pair. 



Nous aurons par exemple: 



(10) a,(x,2p)=p, «,(æ, 2p+l) = x+p + 1. 



') lustitutiones calculi differentialis, p. 499; Saint-Pétersbourg 1755. 

 •-) Journal de Grelle, t. 12, p. 265-267; 1834. 



'') Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg, (6) t. 2, p. 322—323; 1841. 

 *} Journal de Grelle, t. 35, p. 60—67; 1847. 

 5) Ibid. t. 34, p. 75 100; 1847. 



") Die Jacob Bernoullische Function; Zurieb 1848. Journal de Grelle, t. 42, p. 348— 367; 1851. 

 Matbematische Mittheilungen 1—11; Zurich 1857—58. 



') Mathematiscbe Mittheilungen II, p. 129—138; 1858. 

 «) Journal de Grelle, t. 116, p. 144; 1896. 

 «) Prager Berichte 1892; 52 pages. 



