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Les définitions (2) donnent immédiatement les équations aux difîérences finies 



Sn{X, p) — S„(X — 1, p) = (a-^p)" — X" , 



^„(x, p) + <T„(x-— l,p) = (x+p)« — (-l)Pa;'', 

 de sorte que nous aurons de même : 



s„(x, p)-\~ s„{x—l,p) = 2s„(x, p) — (x+/))" + x" , 

 <r„(x,/)) — <7„(x — l,p) = 2ff„(a;, jD)— (,T+p)" + (— l)Px". 



Appliquons ensuite la formule binomiale et la série de Taylor (7) du para- 

 graphe 1; les théorèmes II du paragraphe 2 et III du paragraphe 3 donnent pour 

 Sn{x, p) ces deux développements: 



r = 



(12) '-^J^ - 2pM^) +2^ ^^rij^Pl ^„ _. (X). 



r = l 



Quant à (t„(x, p), nous aurons pour p impair: 



(13) ^f,"-2^«(-)+Xf!^"-^^"^' 



r = l 



(14) „, - ^ (^^1^1 î^n-r(:r), 



r = 



tandis que l'hypothèse p pair donnera: 



(IK) <rn{X,p) _"^' ?■• + ' (^) 



(15) n! -^ ^r+ï)l ^"'■■''' '' 



r = Il 



(16) "71^"=^ Tr^fsyi fn^r-x{x). 



r = 



Posons x = dans les formules (11), (13) et (15): nous retrouvons les formules 

 de Bernoulli et d'EuLER, tandis que les formules (12), (14) et (16) nous donnent 

 l'inversion de (7) et (8), comme nous le verrons dans le paragraphe 13. 



Dans ce qui suit nous avons à étudier aussi ces deux autres sommes de puis- 

 sances numériques: 



(17) Inip) - 2"s„(-i,p) - > (2s -D", 



^r. 



(18) r„(p) ^ 2"a„(-i, p) =^ (-l)»-'(2p-2s + l)". 



s = \ 



Conformément aux formules (3) nous posons: 



(19) s„(x,0) = «7„(x,0) = f„(0) = r„(0) = 0. 



