15 297 



§ 5. Théorème de Jacobi. 



Revenons maintenant aux équations aux différences finies qui figurent dans la 

 définition de <fn{x), respectivement ^nW. puis changeons le signe de x-, nous aurons 



(-l)"Zn(-.r-l) = (-l)n-l^„(_x) + ^, 



tandis que les définitions de f„(a-) et /„(.x) donnent respectivement: 



(— 1)« ^„ (—X) = fn {x) — T^iTiyr ' 



(-i)"-V"(-^) = >^"^^)-"7^; 



cest-à-dire que nous aurons le théorème suivant: 



I. Les fonctions f,i(x) et /n{-i') satisfont, pour tous les n, aux 

 équations fonctionnelles 

 (1) (— l)"^r„(_a;-l) = çf„(a,-), (-l)"^„(-a-— 1) = ^„(.v). 



Soit maintenant f{x) un polynôme entier quelconque du degré n par rapport 

 à X-, l'identité evidente 



donnera la série de Taylor 

 appliquons ensuite les identités 



nous aurons, en vertu de (2), une représentation de la forme 



(3) A^) = A i^' + X-) + (x 4- i- j A ix' + X) , 



valable pour un polynôme entier quelconque de x*. 



Cela posé, développons à l'aide de (3) les polynômes (fn{-^') et Xn{x)> 'es for- 

 mules (1) montrent qu'un des polynômes correspondants A(-*^) ou A(-^) ^^ réduira 

 à zéro. 



Jacobi M a démontré, pour une valeur paire de n, la première des formules (1); 

 de plus, il indique un développement de la forme-) 



») Journal de Grelle, t. 12, p. 267; 1834, 



-) loc. cit. p. 271. Voir aussi Nouvelles Annales, t. 7, p. 448; 1848, t. 10, p. 198 19'J; 1851. 



