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<? = n— 1 



(4) S2„-i(p) = y^an,<,(p-+p)"-''; 



g = 



plus tard Prouhet') a démontré la formule analogue 



S2n{p) = (p+ 2 ) -^KliP' + P)" 



(5) S2n{p) = \P+ 2 j -^ "" "'o'^+«>« «• 



g = 



Cependant, il n'est pas possible de donner sous une simple forme les coeffi- 

 cients a„, g et bn,q qui figurent aux seconds membres des formules (4) et (5), de 

 sorte qu'il sera inutile de chercher pour fn(^), et pour %„ix) aussi du reste, les 

 développements obtenus à l'aide de la formule (3). 



Remarquons en passant que Malmstén"^), Dienger^), Raabe ') ont démontré 

 la première des formules (1), tandis que Raabe-') a démontré aussi la seconde. 



Quant aux équations fonctionnelles (1), nous aurons immédiatement: 



(6) f2„ + i(--2) = *^' /2« + i(— y) = 0; 



le dernier de ces résultats nous permet d'introduire les nombres d'EuLER. Nous 

 prenons comme définition 



(7) E„ = (-1)« (2/j) ! 22"^2„ (- 2 ) ' " = ^ ' 

 ce qui donnera, en vertu de la formule (20) du paragraphe 3: 



s ~n— l 



(8) £i = 1 ; En=Tn +^' (l^+l )TsEn-s, 



s = 1 



de sorte que les nombres d'EuLER sont des positifs entiers. • 



Remarquons que les Tn , à l'exception de Tj = 1 , sont des nombres pairs, 

 nous verrons que les £„ sont tous des nombres impairs. 



Dans la formule (18) du paragraphe 3, posons x = — ^, nous aurons, en 

 vertu de (6) et (7), pourvu que n soit remplacé par 2n: 



5 = n — 1 



(9) En = (-1)" 1-^ (-1)^(2^1)^"-«-' 



s = 



c'est-à-dire que noire définition des nombres d'EuLER coïncide avec la définition 

 classique de ces nombres. 



') Nouvelles Annales, t. 10, p. 199—200; 18:>1. 

 2) Journal de Crelle, t. 35, p. 64; 1847. 

 a) Ibid. t. 34, p. 99: 1847. 



^) Die Jacob Bernoulllsche Function, p. 18; Zurich 1848. Journal de Crelle, t. 42, p. 354; 1851. 

 Mathematische Mittheilungen t. I, p. 48; Zurich 1857. 



•) Mathematiscite Mitllieilungen t. Il, p. 136; Zurich 1858. 



