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Appliquons maintenant à /„(x) la formule (2), nous aurons; 



, ^ - ^^+2-) , V tliZ^ 1^ + t) 

 ^'^^^ ;'nW — „,2 +^ (2s)!22* + i* (n — 2s)! ' 



s = 1 



cette formule, due à Raabe '), est essentielle dans nos recherches sur les nombres 

 d'EuLER. 



Démontrons maintenant que les équations fonctionnelles (1) nous conduiront 

 à des résultats intéressants concernant les deux fonctions fnijp^) et -/nKfx), dans les- 

 quelles p désigne un entier quelconque, plus grand que l'unité. 



En premier lieu, les équations aux différences finies qui figurent dans la dé- 

 finition des ifaix) et des y_n{x) donnent: 



s = p-l 



(_l)n-l 

 fn ( -p.V— p) = Ça i—pX— 1) + 7^_Ziyr 



(px + s) 



s = l 



s = p— 1 



n-1 



;(„{-pX-p) = {-l)P-'Xn(-pX--^)^^-^^"- -^ i-'iy-'iP^ + P-S)"; 



s = l 



multiplions ensuite par ( — 1)", puis divisons par p"-^ respectivement par p", nous 

 aurons, en vertu des équations fonctionnelles (1): 



nu i-L)% i-nx-v) = -^-^^P^ î— .'^]x-h'Y'' 



(11) pn-1 f"( P^ P) pn~l („_!)! ^r+pj ' 



(12) ^ ■" 



En second lieu, soient « et ß deux variables complexes quelconques, les 

 équations aux dilTérences finies susdites donnent: 



S=£— 1 



(13) 9^„(P'><-/5-l)-f„(p«-/î-p-l) =^~^-^(/3 + s + l-p«)" ', 



s = o 

 s = p-l 



(14) ^„(pa-/9-l)-(-l)P/„(p«-/J-p~l) =^^^"•^ (-l)^(/J + s^l-p«)". 



n! 



S = U 



Étudions d'abord la formule (13), ordonnons selon de puissances descendantes 

 de « le second membre; le théorème II du paragraphe 2 donnera le développement 

 suivant : 



(15) 



■V-^( — l)rpn-r-l 

 <f„{pa-ß-l) = p"f„(«) r^ -J] Sr{ß,p)<fn-r{a); 



■=) Mathematische Mittheilungen t. II, p. 133; Zurich 1858. 



1>. K. I). Vidensk. Selsk. Skr., 7. Ha'kke. iiaturvideiisk. og in.ithem. Atd, X. 3. 



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