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car le second membre de (13) représente, divisé par p"~^, une suite harmonique 

 par rapport à la variable a. 



La formule (14) donnera par le même procédé, pour p pair: 



(16) ^,^(pa-ß-l) -^^ -/.f'' ,' ' crr-n{ß,p)<Pn-r{x), 



r = ^ 1 -' • 



tandis que nous aurons pour p impair: 



r= Il 



(17) ^,,(pa-ß-i) =p"^„(„)+^^--zlZ:p^'^^(^^p)^,_^(,,). 



r=l 



Cela posé, nous avons à déduire des trois développements que nous venons 

 d'établir quelques résultats plus particuliers, mais très importants. 



Posons tout d'abord a = et ß ^ x, puis appli(|nons les é(|iiations fonction- 

 nelles (1), il en résulte les formules 



r = n 



(18) ,r,^(x) =- (-py'fniO) i ^ "■ ' ^ fn-rms,.{x,p), 



r = l 



(19) Xnix) - ^ ^ (F+lY\ <Pn-r{0)a,.{.»\p), 



(20) y^nix) = (-/))" ^„(0) ^^ ^^^^" ^'j-P""' Xn-r{0) MX, p) , 



r = I 



qui représentent les inversions des formules (11), (13) et (15) du paragraphe 4; 

 dans (19) et (20) il faut supposer, par conséquent, p pair respectivement impair. 

 Posons ensuite u^=x, ß = — 1, nous aurons ces trois développements: 



r = n 



(21) (fnipx) =p"<fn{x)+^ ^ '~f^ S,.{p~l)fn-r{x), 



r = l 



r = I l 



(22) y„(px)^-^^ -^-|^-<T,.+i(p-l)f„_.(.r), 



r= n 



(23) X" (P^) - P" Xn ^x) +^ (-l)--/?" ^ ^^^^ _ j^^^_ _ ^ ^^^ 



r = l 



Posons au contraire /9- 0, nous aurons des développements analogues pour 

 (pn{px—\) et 'j(„{px — \), formules qui peuvent être déduites des trois précédentes si 

 nous remplaçons s,{p — \) et a,{p -\) par les s,(p) et a,{p) correspondantes. 



