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§ 6. Formules de Raabe. 



Comme une autre conséquence immédiate de nos développements précédents 

 nous avons à démontrer les trois formules suivantes: 



s = ßl— l 



(1) p"-'-^ '^"T^') -^ ^"^'''■^' 



5 = 2; 



(2) {2p ^^ 



= u 

 s = 2p-l 



s=2p 



(3) (2/3)"-' ■^{-\Y<Pn (^') ^ 7„__,(.^•) , 



s = ~r 



où /) désigne un positif entier quelconque. 



A cet effet, nous désignons pour abréger par 



Fn{.v) , G„(x), H„(x) 

 les expressions qui figurent aux premiers membres des trois formules en question. 

 Remarquons que ces polynômes forment des suites harmoniques et que nous 

 aurons de plus: 



F„ix) — F„{x~l) = 



G„(a-) + G„(x-l) - , 



(n-1)!' 



X" 



ni 



Hn{x)+H„{x-l) 



X 



n— 1 



(n-1)! ' 



les formules en question sont des conséquences immédiates de nos définitions des 

 polynômes ^„(.r) et ^„(x). 



Les formules (1) et (2) appartiennent à Raabe'), tandis que la troisième est 

 peut-être nouvelle. 



Posons dans (1) p ^ 2, dans (3) p ^= 1, nous aurons la formule importante 



(4) /„-i(æ) = 2"y5„(^)— ^„(x), 



d'où, en remplaçant n par 2;i puis posant x 0, la relation suivante, due à 



Euler2), entre les B^ et les Tn'. 



,.. T 22"(22"-l)g„ 



^^' ^" - 2n • 



Remarquons que les définitions des f„(aO et ^„(x) donnent immédiatement 

 ces valeurs numériques: 



') Die .lacob Bernoullische Function, pp.23, 28; Zurich 184S. Journal de Grelle, t. 42, p. 3ô()— 357; 

 1851. Mathematische Mittheilungen, t. Il, p. 134; Zurich 1858. 

 -) Opuscula analytica, t. II, p. 273; Saint-Pétersbourg 1785. 



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