SÉANCE DU 2 JANVIER 1917. 33 



binaire à coefficients réels; il développe les calculs pour les formes 

 cubiques, puis, dans le premier de ses deux Mémoires Sur la théorie des 

 fonctions homogènes à deux indéterminées (^OEuvres, t. I), il les développe 

 pour les formes biquadraliques ayant toutes leurs racines réelles. Les 

 remarcjues suivantes fournissent une interprétation géométrique de la 

 méthode d'Hermite (|ui éclaire cette méthode d'un jour favorable, et per- 

 met de se représenter simplement la plupart des résultats qu'Hermilc 

 déduit du calcul, ainsi que ceux qu'on [icut trouver en s'inspirant de sa 

 méthode pour les cas qu'il n"a pas traités. 

 Hermile considère la forme de degré n 



(1) f{x,y) — a,x-'+a^x''-'y + ...-^a„y" ' 



et l'équation 



(l') f(z, l)=rt„=" + rt,=«-'+... + rt„=zO. 



Les coeflicicnts étant réels, on aura u. racines réelles et v couples de 

 racines imaginaires conjuguées (u. + 2v = n). En soumettant au besoin /' 

 à une substitution modulaire préalable à coefficients réels, on peut sup- 

 poser a„ ^ o. 



A /, ou associe la forme quadratique définie 



i=]i. 



(2) 9 = '^tj{x - «,-/)' + 2 21 «;(■» - ^jy){^ — P)y) = p-i--—-iq-fy 



ry 



les a, étant les ii racines réelles de (i'); ses f j3y, py) des v couples de racines 

 conjuguées. On imagine que, pour toutes valeurs des paramètres (/, u), on 

 réduise o et fasse dans / la substitution qui réduit ^(«I' = ç.S, F =fS). 

 On obtient ainsi un ensemble de formes I'' qu'IIermite désigne par la nota- 

 tion (/ ), parmi lesquelles vont être choisies la ou les réduites équiva- 

 lentes à /'. 



Si l'on marque dans le demi-plan analytique supérieur les points d'affixes 

 a,, «2, ..., a,j., 3,, ^^, . . . , [3,, (les jii^ étant supposés dans le demi-plan infé- 

 rieur), et si l'on représente comme à Thabilude la forme zi parle point "( du 

 demi-plan supérieur racine de 



(j{^,i) =p:-—2qz -h r — o; -—A{K) — -; Norme ?=-= ?Ç', 



•2 p p 



il est aisé de démontrer que le point 'C décrit l'intérieur et le périmètre du 



plus petit polygone convexe non euclidien D contenant à son intérieur ou sursoit 



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