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périmètre tous les points racines a,, a^, . .. , 0:,^, jb,, ji^, . . ., [ï,,. Ce polygone a 

 pour cotés des droites non euclidiennes, c'est-à-dire des arcs de cercles 

 orlliogonaux à l'axe réel; il est convexe, c'est-à-dire qu'il n'est traversé 

 par aucun de ses côtés prolongé indélininient, et tout polygone convexe non 

 euclidien renfermant toutes les racines précédentes renferme D à son inté- 

 rieur ou coïncide avec lui. D a en particulier pour sommets tous les a,. 

 Réduire la forme quadratique définie dont 'Ç est le point représentatif, 

 c'est faire sur elle la substitution modulaire S 



œ=.a\+b\, y =cX -i- dY 



(a, h, c, d, entiers réels, ad — hc = i ) qui ti-ansforme 'C, en un point Z 



Z^ 



c'L-\- d 



intérieur au domaine fondamental connu (ù„ du groupe modulaire dans le 

 demi-plan analytique. Si l'on considère la division modulaire du demi-plan 

 el le polygone D associé à la forme /"étudiée, l'ensemble des substitutions S 

 qui réduiront c; lorsque les (/«) prendront toutes les valeurs possibles est 

 Vensemhle des substitutions (jui amènent sur (D„ c/uirun des triangles (B de la 

 dinsion modulaire avec lesquels D a au moins un point commun . 



Hors le cas banal où toutes les racines réelles seraient rationnelles, cas 

 qu'on exclut en arithmétique en ne considérant que des formes / irréduc- 

 tibles, l'ensemble des S et par suite celui des ( /') compte une infinité d'élé- 

 ments si l'une au moins des racines de /'est réelle. Le seul cas où (/') ne 

 compte qu'un nond>re fini de formes est celui où f n'a que des racines inui- 

 ginaires; on peut dire à un changement de signe près que / est positne. 

 [C'est là un résultat qui pourrait suffire pour faire la réduction des formes 

 positives, toute ( /') pourrait être appelée réduite. ] Car c'est le seul cas où 

 I) étant au-dessus de l'axe réel et ne l'atteignanl pas, n'empiète que sur un 

 nombre fini de triangles ôS. 



Poui' définir dans tous les cas la réduite, ou envisage la fonction 



1-. .. . tiu\ . . . Il,) 



étant le déterminant de o( =/;/• — y-) et l'on cherche les valeurs de (///) 

 (pii rendent maximum aljsohi. Ces valeurs substituées dans © donnent ce 

 (pTon appelle la correspondante quadratique de /'. La substitution cpii la 

 réduit, faite aussi dans /', donnera la réduite do. f. L'étude des réduites équi- 

 vaut à celle des correspondantes. l*our les formes cubiques et biquadra- 



