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Macmahon ('), qui les ont abordés d'un point de vue puremenl algéijriquc. 

 Ces auteurs n'y ont fait aucune application des méthodes de la théorie des 

 fonctions, de sorte qu'on ne trouve pas, dans la théorie en question, de for- 

 mules asymptotiques, telles qu'on en rencontre, par exemple, dans la 

 théorie des nombres premiers. 11 nous semble donc que les résultats que 

 nous allons faire connaître peuvent présenter quelque nouveauté. 



2. Nous nous sommes occupés surtout de la fonction p(n). nombre des 

 partitions de n. On a 



-^(■-)- (.-..)(,-.ô(.-..3)... -'-1p('»-'^ <:i-I<o. 



Nous avons pensé d'abord à faire usage de quelque théorème de caractère 

 Tduhérien : on désigne ainsi les théorèmes réciproques du théorème clas- 

 sique d'Abel et de ses généralisations. A cette catégorie appartient 

 l'énoncé suivant : 



Soit g{s') = 'ï^a,i-T" une série de puissances à coefficients posnu-s, telle qu'on 



ait 



A 



quand r tend vers un par des valeurs positives. Alors on a 



log,ç„ — log(flo + rt, -t- . . . + f/„) ~ 2 \'X«, 



quand n tend vers l'infini ( •'). 



En posant g{x) = (i — .r)f(x), on a 



et nous en lirons 



où £ tend vers zéro avec -• 



n 



3. Pour pousser l'approximation plus loin, il faut recourir au théorème 



(') Noir le granj Traité Coinbinatory Aiialysis de M. P. -A. Macmalion (Cam- 

 liridge, 1916). 



(-) Nous avons donné des généralisations étendues de ce lliéorème dans un Mémoire 

 (]ui doit paraître dans un autie Hecueil,. 



