SÉANCE DU 8 JANVIER 1917. 69 



La valeur de H esl réelle, comme celle de I. D'autre pari, la valeur de K 

 se compose de plusieurs parties. Celles qui proviennent de l'intégration, le 

 long de l'ave des abscisses, sont réelles; mais celle qui se rapporte à la 

 demi-circonférence infiniment petite, comprise dans le chemin C, est égale 

 à — irm:\j— i, comme on le reconnaît en développant l'élément diffé- 

 rentiel dans le voisinage de m = o. Il résulte de là : 1° que la somme 



■?.mn \/ — t + Iv 



est réelle; 2" que H est la partie réelle de l'expression 



H -h \/— I [ 2 m - V I + K], 



c'est-à-dire de — 2/«- + J, J désignant Fintégralo 



X 11- 



où E représente la base des logarithmes népériens. Il est facile de voir, du 

 reste, que J est réelle; mais ce point n'a pas d'importance ici. 



Par les points u= — i et m = + 1 , menons deux ordonnées positives et 

 raccordons leurs extrémités par un ai'c de courbe quelconque ne rencontrant 

 pas l'axe des abscisses. Prenons arbitrairement un point X, sur cet arc, et 

 appelons C le chemin composé de l'ordonnée passant par le point « = — i 

 et de la partie de l'arc de courbe qui joint son extrémité au point X. 

 Appelons, de même. C" le chemin composé de l'ordonnée menée au 

 point M = -t- I et de la seconde partie de l'arc de courbe qui se termine au 

 point X. Si l'on s'assujettit à parcourir les chemins C et C', en partant 

 respectivement des points « = — i et w = + i , on peut écrire 



.= /■-/■. - 



l'élément différentiel n'ayant pas de singularités dans l'aire limitée par les 

 chemins C, C, C". Or le module de la fonctions E"'' ' décroît (juand on 

 s'éloigne de l'axe des abscisses, du côté des ordonnées positives. (Chacune 

 des intégrales entrant dans l'expression de J est donc de la forme 



où n représente le grand nombre 2W, |'f(«)| prenant d'ailleurs sa plus 

 grande valeur, le long du contour d'intégration, à l'extrémité d'où part la 

 variable. J'ai montré {loc. cit.) que la valeur de pareilles intégrales 

 s'obtient, avec une faible erreur relative, notamment lorsque les dévelop- 



