SÉANCE DU 12 FÉVRIER I917. 3o3 



Les déplacements qu'il a trouvés sont formés de quatre séries en (Sh Ou Ch)m.r 

 (sin ou cos)rny, dont les coefficients sont eux-mêmes définis par des séries. Les termes 

 de ces dernières séries dépendent de fonctions '\> et r, qu'il a définies page 1^9 et de 

 fonctions U, ( p, q) et U.,(/>, q), p et q étant des nombres dépendant du rang du terme 

 dans les séries. Les fonctions U et L" sont déterminées au moyen de fouctions A,, Aj, 

 A3, . . . qui se déduisent, la première Aj, d'un développement en série dont les termes 

 dépendent de la fonction '^. La seconde Aj, d'une série dont les termes dépendentde <i^ 

 et de Ai, la troisième d'une série dont les termes dépendent de t|i et de A2, .... 



Le calcul des fonctions A est extrêmement long quand la plaque n'est pas carrée; 

 quand elle l'est, ou peut utiliser des Tableaux de ces fonctions donnés par l'auteur. 

 Néanmoins, même dans ce cas particulier, l'ensemble des calculs reste encore si long 

 et compliqué que ni Mathieu, ni personne à ma connaissance, n'en a tiré un résultat 

 numérique. 



Je me propose de donner ici des formules qui donnent les tensions sous 

 une forme incomparablement plus simple, quel que soit le rapport des côtés 

 du rectangle. 



On sait depuis 1 863 ( ' ) que les tensions n^, «, et / dans les problèmes à 

 deux dimensions dépendent d'une seule fonction, reconnue depuis bihar- 

 monique. On peut prendre pour cette fonction les déplacements perpen- 

 diculaires à la surface, u', d'une plaque non chargée, sollicitée par suite 

 uniquement sur son contour qui est le même que dans le problème à deux 

 dimensions. Si l'on fait une section par un plan quelconque normal à la 

 surface de la plaque, on peut dans cette section représenter par des nombres 

 proportionnels : 1° la courbure de la plaque et la tension normale à la sec- 

 tion, «; 2° la torsion de la plaque et la tension tangentielle, t. 



Considérons deux plaques rectangulaires égales ayant un coefficient de 

 Poisson •!] nul. Soient h', les déplacements de la première qui repose sur un 

 contour indéformable sur lequel elle est encastrée, et qui est chargée de nr 

 par unité de surface, cette charge étant fonction paire de y et indépendante 

 à&x. Soient w^ les déplacements de la seconde qui est libre sur les deux 

 côtés a: = rb rt : 2 et passe par les deux droites jk = ± è ; 2 et qui est chargée 

 de — ro. Pour avoir la déformation la plus générale des côtés a; =±a: 2, 

 on peut supposer cette seconde plaque encastrée sur les côtés j = ± 6 : 2, 

 puis soumise à un moment constant le long de ces droites (il est facile de 

 voir que le résultat est le même qu'en l'appuyant simplement sur ces 

 droites). Pour simplifier le calcul, on peut laisser de côté le moment 

 constant, ce qui revient, pour le problème à deux dimensions, à donner 

 à n^ une valeur constante arbitraire. La somme «' = ((•, -1- (t'o donne les 



(') ÂiRY, On the strains in the interior of beains {Philos. Traits.. i863, p. 55). 



