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être calculée explicitement, sans qu'il reste aucune quadrature àeffcctuer. 

 A cet effet, observons que iCi est une fonction de C réelle sur la circon- 

 férence '(= ye'X'o <^* <^ 2ti). On peut alors prolonger cette fonction dans 

 l'aire comprise entre les circonférences de rayons g et y-, la fonction iil 

 prenant des valeurs conjuguées aux points qui se correspondent par inver- 

 sion (de module </-) dans les deux couronnes : ^<^|Ç| >< i, q" <C\'C\<^(j. 

 En outre, observons que de l'expression de rf/" (Thèse, p. 221) 





|-„(g...)_,.(g,„,,)]„.(gi,,; 





KS'°^^)--]KS'°^"0-^"^ 



on peut conclure que cette expression ne change pas si l'on change 'C en y • 



Donc aux points inverses, sur deux chemins inverses l'un de l'autre, les 

 valeurs de df sonl conjuguées. 



Ces remarques permettent d'établir la formule suivante 



Mais la fonction C'^-tr est régulière pour ^^<; | "C | <^ i ; ses seules singu- 

 larités sont des pôles situés dans le domaine, ou des points critiques placés 

 sur les frontières du domaine précédent. Un calcul que je ne reproduis pas 

 ici permet d'en conclure 



A -'9" 



P.=: 



i.Q'(.y) + /0"(,/)_0'2(^) 



expression qui, en apparence, contient encore l'imaginaire /. 



Mais j'ai démontré (') que la valeur la plus générale de 0('C) était 



^logÇ 





où ?'(.?) désigne une fonction liée à la forme de l'obstacle solide. Parlant 

 de là on peut démontrer qu'on a toujours 



ii2'(y)+iî"('7) 



f ') Journal de MatlténiaLiqiicx pures et rippliquces^ '9>i: ji- 377. 



