SÉANCE DU 5 FÉVRIER 1917. 278 



le raisonnement de Robin : il suffit de prendre quelques précautions très 

 simples dans la démonstration. 



Mais nos deux définitions de la stabilité ne sont pas équivalentes en 

 général et ne définissent pas la même propriété. En l'absence de résis- 

 tances passives, par exemple, la stabilité à la Lagrange peut exister sans la 

 stabilité à la Robin. 



Toutefois, pour les systèmes dont toutes les variables sont affectées de 

 viscosité (systèmes que j'appellerai enlièrement visqueux), Duhem, envisa- 

 geant les mouvements purement mécaniques ou les mouvements isothermes 

 des systèmes holonomes, a montré que la stabilité à la Lagrange entraînait 

 la stabilité à la Robin, et même la stabilité à la Robin complète, car, en 

 général, dans les cas visés, les positions d'équilibre ne sont pas infiniment 

 voisines les unes des autres. Dans sa démonstration, P. Duhem admet 

 a priori que le potentiel total est minimum. En réalité, et cette remarque est 

 essentielle pour ce qui va suivre, cette restriction n'est pas nécessaire à la 

 démonstration; il suffit de supposer simplement que la stabilité à la 

 Lagrange existe. 



La stabilité à la Lagrange entraîne donc la stabilité à la Robin complète. 

 Mais le raisonnement de Robin montre d'autre part que la condition néces- 

 saire de la stabilité à la Robin complète est que le potentiel total soit 

 minimum. C'est donc là aussi une condition nécessaire pour la stabilité 

 à la Lagrange des systèmes entièrement visqueux. 



Tel est le premier résultat que j'avais en vue. \\ n'est pas nouveau, mais 

 il m'a paru intéressant de signaler la méthode qui vient d'être employée 

 pour l'obtenir. 



2. Cette méthode s'étend à divers cas de stabilité du mouvement justi- 

 ciables du théorème de Routh {Dynamics of a System of rigid bodies, t. 2, 

 Chap. III). Soit, par exemple, dans le domaine de la Mécanique pure, un 

 système dont quelques variables, les variables a, que nous appellerons 

 variables cycliques, n'entrent pas dans l'expression du potentiel et ne 

 figurent dans celles de la force vive que par leurs dérivées a'. Admettons 

 encore que ces variables cycliques soient sans viscosité, toutes les autres 

 variables, que nous désignerons par q, étant au contraire affectées de visco- 

 sité. Soient V le potentiel total, W la partie de la force vive qui s'annule 

 quand les a' sont nuls. Considérons un mouvement où les q sont constants et 

 où les a varient uniformément. Si ce mouvement est tel que, parmi tous les 

 mouvements analogues avant mêmes -p^. l'expression V + W soit mini- 



