SÉANCE DU 5 FÉVRIER IQI^. ^69 



La première demande que t*, (i^■) possède une limite pour ce = o;'û résulte 

 de notre théorème qu'on peut y prendre pour indice /• un nombre positif 

 quelconque. 



La seconde condition demande explicitement que la fonction 



u,{x) = x-if \d[xif{x)]\ (o<7) 



^0 



soit bornée dans un certain intervalle (o, b), et implicitement que x''f{œ), 

 soit une fonction à variation bornée. Dans le cas q = o, ces conditions 

 implicite et explicite sont identiques. 



4. L'identité essentielle des membres de la première suite, pour o<;y, 

 résulte du théorème suivant; dans la démonstration nous employons le 

 lemme : 



Si g(x-) et Y (.r) sont des fonctions à varialion bornée, dont Vune est conti- 

 nue, ou aura 



(') r \d[g[x)y{x)Y^f \g{x)\\dy{x^\+f |y(^)||f/^(.r 



)|- 



Théorème. — Si dans Vintervalle (o, b), x''f(^x) est une fonction à varia- 

 tion bornée, telle que, pour un certain indice g^o, la fonction u^(^x) est 

 bornée, il en est de même pour tout indice positif. 



D'après notre lemme, /■ étant positif et o <; e << x, 



j l^[''7(0]|=/ L'-'|\d[l'>f{l)^\ + f f>\f{i)\\du-''\' 



où B et C sont les bornes supérieures de u^{l ) et de \f{t)\ dans (o, b); c'est- 

 à-dire, la variation de t''f(t) dans l'intervalle (e, x) reste bornée, quelle 

 que soit e. C'est le premier des résultats voiilus. Le second s'en déduit 

 immédiatement en multipliant par xr'' et en laissant tendre e vers zéro. 

 Notre théorème est démontré. 



5. Les critères essentiellement distincts qui subsistent sont donc au 

 nombre de deux, celui de M. de la Vallée Poussin et le mien, bien que, 



c. R., 1917, 1" Semestre. (T. 164, N» 6.) 35 



