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paramèlrps continus. J'ai montré en même temps l'utilité de ces para- 

 mètres clans la théorie. Cependant la supposition que ces suites constituent 

 deux échelles de convergence pour les séries de Fourier serait erronée, ce 

 que je vais démontrer à l'aide de deux théorèmes sur les fonctions à varia- 

 tion bornée. En effet, la représentation de chacune des suites dégénère en 

 deux points, dont l'un correspond à la valeur zéro et l'autre à toutes les 

 valeurs positives du paramètre. 



2. Prenons, comme d'habitude, une fonction paire /"(a-), et considérons 

 la convergence de sa série de Fourier à l'origine. 



La seconde suite est caractérisée par la condition que 



(',.(. r) --X 



-'■ I .x'-'/{.v)(lr (o'^r) 



•-0 



soit une fonction à variation bornée, ce qui e.\i;;e implicitement que 

 x''~\f{x) soit sommable. Pour /■ ^= o, les conditions, implicite et explicite, 

 se confondent. 



Pour tout ;• positif, les nombres de notre suite coïncident essentiellement 

 avec la condition de M. de la Vallée Poussin (/•=!). Nous avons en effet 

 le théorème suivant : 



Si, pour un certain indice s^o, i's(^) ^ l'une des propriétés : i" d^être 

 bornée; 2° de posséder une limite pour :r = o, ou 3° d'être une fonction 

 à variation bornée, la propriété subsistera encore pour fr(î^), r étant un indice 

 positif quelconque . 



En effet, e étant positif, 



J /'-/(Orf/=-.[ri',(0]f-j>-;jy' ^:{t)dt'\ 



Dans les cas 1°, 1° et 3°, v^i^x) est bornée dans un certain intervalle (o, è), 

 nous pouvons donc faire tendre e vers'zéro; f-^f^t) sera sommable dans 

 (o, b), et nous aurons 



De cette équation découlent immédiatement les résultats voulus. 



3. Dans l'expression analytique de la première suite il y a deux 

 conditions : 



