SÉANCE DU 5 FÉVRIER 1917. 267 



qui possède un point irrégulier (a; = 00) de rang m et un point régulier 

 (a? = £~') qui, pour £ tendant vers o, tendra à se confondre avec a; = =o; 

 en même temps, (6) tendra vers (i) si les constantes sont convenablement 

 choisies. Cela étant, je dis que les ^j.m intégrales normales de (6) relatives 

 à X =^'Xi el les deuv intégrales canoniques du point régulier vont tendre 

 vers les im-\- 1 intégrales normales de (1). 



A cet effet, j'établis d'abord qu'on peut trouver un polynôme xq' (x), de 

 degré m, dont les coefficients sont holomorphes en £ pour £ ^ o et tel qu'en 

 posant y = se"''''^'^' avec 



log(i-£a.-) + £.r+_— - -1-...^-— — J, 



la fonction z satisfasse à une équation de la forme 



(7) z" + o^W - sx-{i ~ ix)-'\z.' = z f{x, z), 



où a?"'""*""! I — zx)/(x. z) est uniformément borné pour|a;| > Ret |£| < £„. 

 Or (7) se résout comme (3), par des approximations de la forme (5) qui con- 

 vergeront régulièrement pour I^I^R, |£|<^£„, si l'on adopte comme 

 contour d'intégration 3 les courbes iogX + Y tang[5 = o, ^ étant convena- 

 blement choisi, et \, Y étant définis par 



, I- ,„• 

 {1 — t)e'''*"^*"'^ "• = Xe"' (t — £u). 



L'étude des courbes £ (qu'on pourrait appeler tes loxodromies du facteur 

 primaire de Weierstrass) est délicate ; je démontre qu'elles possèdent m -t- i 

 branches C,, ..., C„+, issues de l'origine, dont les m premières s'éloignent 

 à l'infini tandis que la dernière s'enroule en spirale autour de t = i 

 (ou u = i~'). Ce point établi, il est aisé de voir qu'en fai>ant coïncider 

 successivement le contour d'intégration avec C,, ..., C,„, puis C,„+|, on 

 trouve m intégrales normales de (6), puis une intégrale canonique pour 

 x = i~'; et comme, pour t tendant vers zéro, les approximations actuelles 

 convergent uniformément vers les précédentes, notre assertion se trouve 

 complètement légitimée. 



ANALYSR MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie de la convergence des séries 

 de Fourler. Note de M. W.-H. Vouxg, présentée par M. Emile 

 Picard. 



,. 1, Dans mes deux dernières Notes sur les séries de Fourier j'ai donné 

 deux suites de critères pour la convergence de ces séries, dépendant de 



