SÉANCE DU 8 JANVIER IQI;- 93 



mot définie') de classe I , continue en tout point x dit domaine ( o, i), sauf aux 

 points rationnels j telle que r ensemble d<:' ses râleurs sur ( o, i) est un ensemble 

 non mesurable (B). 



CoiiOLLAiRE. — // existe une série de polynômes ^P„(.);-), convergente 



partout dans (o,i), telle que F ensemble des valeurs de sa somme est un 

 ensemble mm mesurable (B ). 



Si Ton introduit les nombres Iransfinis en infinité énu/nérable, on 

 peut supprimer ( ' ) de renoncé du théorème I (et I') les mots à un ensemble 

 énumérable de points prés. On démontre le corollaire sans employer 

 l'axiome de M. Zermelo, mais il faut employer, pour former efleclivement 

 la série de polynômes du corollaire, les nombres transfinis en infinité énu- 

 mérable ( c'est-à-dire ceux qui sont inférieurs à l'un d'eux). 



Le théorème I admet une proposition inverse : 



Théorème III. — L'ensemble des valeurs de toute fonction /(■>') qui rentre 

 dans la classification de M. liaireest un ensemble {A.). 



1. Fonctions implicites. - Posons la déliuition suivante : nous dirons 

 qu'un système déterminant ;o„„ „J de l'ensemble E est système d'unicité, 

 s'il existe, pour tout point x de E, une et une seule suite d'entiers positifs a, , 

 ao, .. ., a^.. ... telle que le point x soit contenu dans tous les intervalles o^.i 



Ojt ,, , ..., 0^,3,,.. jj, Cette définition posée, nous pouvons, en employant 



une méthode de M. Souslin, démontrer la proposition suivante qui carac- 

 térise les ensembles mesurables ( B) : 



Tin:ouÈME \\ . — Pour qu un ensemble (A ) soit mesurable (B), il faut et il 

 suffit qu'il admette un système d'unicité. _ , 



Cette proposition nous permet de démontrer que tous les résultats de 

 M. Lebesgue relatifs à la représentation analytique des fonctions impli- 

 cites restent Intacts; mais les démonstrations sont compliquées et employent 

 la totalité des nombres transfinis de seconde classe. 



3. Les ensembles ÇA). — On peut démontrer les théorèmes suivants sur 

 les ensembles (A) : 



TiiKORÈME V. — Tout ensemble (A) est mesurable (L). 

 (') Celle remarf|ue esl due à M. Soiisliii. 



