92 ACADÉMIE DES SCIEN'CES. 



appellerons système régulier loul syslème déterminant qui possède les pro- 

 priétés énoncées. 



Cela posé, considérons un ensemble (A) quelconque situé sur l'axe 

 des r; désignons par K cet ensemble. Soit S = \o„^„_ „J, un système déter- 

 minant régulier de l'ensemble E. 



Prenons sur l'axe des .crie domaine {o'SxILi). Désignons par -i l'ensemble 

 des points irrationnels du domaine (o <j;;j: i). Soit E un point de a, repré- 

 senté par la fraction continue (a,, a.,, ..., a/,, ...), où les entiers a,, a^, ... 

 sont les quotients incomplets. Considérons les intervalles o^,, o^,»! •••^ 

 Cjj 3( g(j, ...: ces intervalles étant fermés et en nombre infini, il existe, en 

 vertu (les propriétés 2° et 3°, un et un seul point v] qui leur est commun. 

 D'après la définition d'un ensemble (A), ce point t est un point de \\. 

 Ainsi, à tout point \ de :>> correspond un et un seul point y] de 1*'-. Récipro- 

 quement, à tout point vj de K correspond au moins un point ^ de 3. 



Considérons l'ordonnée rj comme une fonction de l'abscisse H : r, —f(^). 

 L'ensemble 1'] étant donné, la fonction /(jr) est définie, sans taxiome de 

 M. Zermclo, en tous les points de 3. D'après la propriété 3'% la fonction /(a- ) 

 est continue en cliaque point de -^ par rapporta 3; l'ensemble des valeurs 

 de f(cc) sur 3 est l'ensemble donné E. Définissons la valeur de la fonc- 

 tion /(r) poura^ rationnel comme le maximum de la fonction /'(ir) en .r 

 par rapport à -:>. D'après cela, la fonction /(.r) est définie, sans l'axiome de 

 M. Zermelo, en tout point x du domaine (o'^x'Si). On voit bien que / (a;) 

 est continue (au sens ordinaire) en tout point irrationnel du domaine 

 (o^xS i); donc, /"(a;) est une fonction mesurable (B) et de classe i de la 

 classification de M. Baire. Les valeurs de /'( x) en tous les points rationnels 

 forment, évidemment, une infinité énumérable. De là : 



TiiÉOKKME L — Tout ensemble (A), à un ensemble énumérable de points 

 prés, est l'ensemble des râleurs d'une fonction /{x) de classe 1, définie 

 dans (o^sc'S i) et dont les seules discontinuités sont les points rationnels. 



En vertu du théorème I de la Note précédente, nous avons : 



TiiÉORÈMK r. — Tout ensemble mesurable (B), it un ensemble énumérable 

 de points près, est l'ensemble des râleurs d'une fonction /{x") de classe I, 

 définie dans (o 5.'r^ i) et dont les seules discontinuités sont les points rationnels. 



En vertu du théorème II de la Note précédente, nous avons : 



TiiÉoiuiiMK IL — // existe (sans utiliser l'axiome de M. Zermelo et les 

 nombres transfinis) une fonction bien définie ( au sens logique et précis du 



