SÉANCE DU 8 JANVIER 1917. gX 



semble donné K est évidemment la projection orthogonale de Q sur Taxe 

 des X. Donc : 



TiiÉORKME lY. — Tout ensemble (A) est la projection orthogonale d'un 

 ensemble mesurable B de classe "S 1 . 



En vertu du théorème I, nous avons : 



Théorème IV'. — Tout ensemble linéaire mesurable M est une projection 

 orthogonale d'un ensemble mesurable B de classe 'Si. 



De même, d'après le théorème II, nous avons : 



Théorème Y . — Il existe, dans le plan, un ensemble mesurable B de classe i , 

 tel que sa projection orthogonale sur l'are des x est un ensemble non mesu- 

 rable B. 



La projection d'un ensemble mesurable B n'est donc pas toujours mesu- 

 rable B, contrairement à ce que suppose M. Lebesgue (' ) dans la démon- 

 stration de son théorème sur les fonctions implicites; cette démonstration 

 doit, par suite, être modifiée. 



Toutes les définitions de cette Note sonl valables pour les ensembles 

 dans l'espace à n dimensions, ce qui revient au 



Théorème. — ■ Si E est un ensemble (A), sa projection Vesl aussi. 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur la classification de M. Baire. 

 Note de M. IV. Lusix, présentée par M. Hadamard. 



Dans la Note présente je me propose d'indiquer quelques conséquences 

 des résultats de M. Souslin (voir la Note précédente). 



I. Applica/ions fonctionnelles. — Remarquons d'abord que tout système 

 déterminant peut être remplacé par un système déterminant S = |o„ „ „J 

 qui jouit des propriétés suivantes : 



1° Les extrémités de l'intervalle o„ „. „^ sont des points rationnels; 

 2° L'intervalle o„ „ „^„^^_ est conteiiu dans l'intervalle 0,,,,^ „^; 



6° La longueur de l'intervalle o„,„, ..,„, de rang /• est inférieure à 7:- Nous 



(') Sur les fonctions représenlables aiietlytiqtif ment (^Journal <le Mathéiiialùjut's, 

 5"= série, t. 10, igoS. p. 191- 192, igô-igti). 



