SÉANCE DU 22 JANVIER I917. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su?- Videntité de Bézout. 

 Note de M. Bertrand Gambier. 



Une remarque due a M. Darboux permet de donner explicitement et 

 sans le moiadre calcul l'expression des quatre polynômes entiers en x les 

 plus généraux A, B, G, D satisfaisant à l'identité classique de Bézout 



(I) 



AD— BC = i. 



A 



C 



L'expression AD — BG ayant revêtu la forme du déterminant 



si l'on connaît deux solutions (ABGD), f A'B'C'D'), on en déduit une 

 troisième par la multiplication des deux déterminants correspondants. 

 Pour préciser, j'effectue la multiplication par le procédé détaillé ci-dessous 



(2) 



J'appelleia solution nouvelle (AA' + CC',BA'+DC', AB' + CD', BB' + DD') 

 produit de (ABCD) par (A'B'G'D') et je l'écris scliématiquement 

 (ABCD) (A'B' CD'). De même, si je inc donne un nombre quelconque de 

 solutions avec leur ordre, je multiplie la première parla seconde, le résultat 

 par la troisième, et ainsi de suite ; le résultat final, ou produit des solutions 

 données, est une solution nouvelle. Cette multiplication n'est pas commu- 

 tative. 



Si donc on suppose que C et D sont respectivement de degré supérieur 

 à A et B, nous effectuons les opérations du plus grand commun diviseur 

 entre C et A d'une part, D et B de l'autre; les quotients successifs sont les 

 mêmes. La première opération donne 



(3) 



(C = Ao-t-C, , AD, -BC,si, 



\ D = BÔ + D,, (ABCD) = (ABC,D,)(îoo.). 



La solution (ABCD) est remplacée par la solution plus simple ABC,D,; 

 à la seconde opération celle-ci est elle-même remplacée par A|B|C,D,, 

 puis par A, B, CoDo à la troisième et ainsi de suite. 



Chaque opération remplace alternativement le couple (AB) ou le couple 

 (CD) par un couple plus simple, l'autre ne changeant pas. Finalement, si 

 nous tenons compte de toutes les hypothèses possibles sur les degrés 



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