SÉANCE DU 22 JANVIER 1917. 167 



passant par les positions données ?„ et P,, et de comparer entre elles les 

 valeurs de l'action le long de ces trajectoires. 



A cet effet, considérons deux positions P„ et F, du système suffisamment 

 rapprochées pour que, le long de l'arc * = PoP, de la trajectoire consi- 

 dérée T entre ces positions, aucune des différentielles y'L, dqi ne change de 

 signe. Comme ces différentielles représentent les éléments d'arc des lignes 

 coordonnées composant dans le système orthogonal (y,, ..., y^) l'action J 

 comme leur résultante, ceci revient à supposer les positions P„ et P, suffi- 

 samment rapprochées pour que l'action le long de l'arc s présente une allure 

 invariable par rapport aux lignes coordonnées, cette invariabilité consistant 

 dans celle du sens de croissance de ces arcs composants. 



Soit £^ l'unité affectée du signe invariable de y/L^c?7^1e long de * ; en 

 posant pour abréger 



on aura le long de l'arc s 



. p.l 



ip«) 



Les a^ étant tous positifs, la valeur du rapport 



(«, + ... H- «/,)'■' 



sera toujours comprise entre - et i, ces limites étant atteintes, la première 



lorsque le long de l'arc s les a,- sont tous égaux entre eux, et la seconde 

 lorsque les a,, sauf un parmi eux, sont tous nuls ('). 



Soit jx un facteur intégrant de l'expression ly.;,, de sorte que f^Sa/, soit la 

 différentielle exacte d'une fonction/. L'existence du facteur ij. est assurée 

 pour un système quelconque à un degré de liberté inférieur à 3. Il en est de 

 même lorsque les lignes coordonnées forment un réseau isométrique, de 



sorte qu'on ait L, = Lo = ... = L,,; le facteur intégrant sera alors -=:■ Il 



en sera de même dans un nombre illimité d'autres cas généraux. 

 On aura dans ce cas 



dF{/) 



V/«? +... + 5t|. = 9(«i + ...-+- «a) = ^Pv^ ' 



(') Voir ma précédente Noie {Comptes rendus, t. 164., 1917, p. 85). 



